Matemática

Demonstração da Fórmula do Volume da Esfera

Para esta demonstração, utilizamos o conceito de integral definida. Vamos supor a circunferência abaixo com centro na origem:

Circunferência 2

Se rotacionarmos a circunferência em torno do eixo x, obteremos uma esfera de centro na origem e raio r.

Esfera 2

Temos que a equação da circunferência é:

clip_image002

Como a esfera tem centro na origem, temos que a = 0 e b = 0, logo:

clip_image002[4]

clip_image004

Para encontrarmos o volume desta esfera, vamos supor fatias de larguras infinitesimais dx e raio y.

cilindro infinitesimal dx 2

O volume do cilindro é dado por:

clip_image002[10]

clip_image002[14]

Como o raio do cilindro de altura infinitesimal é igual a dx e seu raio da base é igual a y, podemos reescrever a fórmula de seu volume como:

clip_image002[8]

Podemos dizer que a esfera é formada por infinitos cilindros de alturas infinitesimais dx, onde seu raio y é variável para cada cilindro.

A soma desses cilindros de alturas infinitesimais é dado pela integral definida:

clip_image002[16]

clip_image004[4]

Como:

clip_image002[18]

Temos:

clip_image002[20]

clip_image004[6]

clip_image006

Aplicando a integral:

clip_image002[22]

clip_image004[8]

clip_image006[4]

clip_image008

clip_image010

Que é a famosa fórmula para o cálculo do volume de uma esfera.

Se derivarmos seu volume em relação ao raio r, obtemos sua área:

clip_image002[24]

clip_image004[10]

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