Dispositivo Prático de Briot – Ruffini
Quando queremos dividir um polinômio P(x) por um binômio (x – a) podemos utilizar um algoritmo desenvolvido pelo matemático italiano Paolo Ruffini (1765 – 1822) e pelo matemático francês Charles A. A. Briot (1817 – 1882) denominado hoje por Dispositivo Prático de Briot – Ruffini, no qual é possível apenas em termos dos coeficientes de P(x), de grau N ≥ 1, e com a raiz de um binômio (x – a), que é o divisor de P(x), encontrando um quociente de grau N – 1.
Exemplo 1: Seja a divisão de 
por uma binômio 
.
Inicialmente, vamos determinar a raiz do binômio x – 2:
O dispositivo é organizado da seguinte maneira:
onde:
r é a raiz do binômio;
CP(x) são os coeficientes de P(x);
Q(x) é o quociente da divisão;
R(x) é o resto da divisão.
Vamos, então, dispor a raiz do binômio e os coeficientes do polinômio no dispositivo:
O próximo passo é reescrever o primeiro coeficiente de P(x) logo abaixo, que será o primeiro coeficiente de Q(x):
Agora, multiplicamos 1 pela raiz do binômio e somamos ao segundo coeficiente de P(x). O resultado é escrito logo abaixo do segundo coeficiente de P(x), que será o segundo coeficiente de Q(x):
Analogamente, multiplicamos – 3 pela raiz do binômio e somamos ao terceiro coeficiente de P(x), encontrando o terceiro coeficiente de Q(x):
Repetimos este processo até o último coeficiente:
O quociente e o resto que procuramos são:
Notem que o grau de Q(x) é menor que P(x) em uma unidade.
O dispositivo de Briot – Ruffini prevê que a divisor de P(x) seja um binômio do tipo (x – a). Mas também podemos aplicar o método quando o divisor for do tipo (bx – c). Para isso, usamos um artifício de transformar o divisor (bx – c) em (x – c / b) da seguinte forma:
No entanto, devemos ficar atentos pois o quociente que encontraremos estará multiplicado por b e, no final, deveremos dividir Q1(x) por b:
O resto R(x) não sofrerá alterações, mantendo o valor encontrado.
Exemplo 2: Seja a divisão de 
por uma binômio 
. Obter Q(x) e R(x).
Primeiramente vamos reescrever o problema fazendo uso do artifício:
Sendo Q1(x) = 2Q(x):
Agora, aplicaremos o algoritmo de Briot – Ruffini para P(x) dividindo pelo binômio (x – 1/2). Primeiramente encontramos a raiz do binômio:
Organizamos os dados no dispositivo:
Logo, temos que:
e
Mas Q(x) = 2Q(x), logo devemos dividir Q1(x) por 2:
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Quando o polinômio P(x) é incompleto, devemos completá-lo utilizando o coeficiente igual a zero.
Exemplo 3: Seja o polinômio 
. Efetuar a divisão pelo binômio 
.
Vemos que P(x) está incompleto, faltando o termo ax2. Completamo-lo da seguinte forma:
Concluímos que:
Referências:
[1] Matemática Volume Único – B. Barreto, C. Xavier- Ed.FTD
[2] Matemática Volume Único – Facchini – Ed. Moderna
Veja mais:
Multiplicidade de uma Raiz
Zeros Reais de Funções Reais
Sobre a Divisão de Polinômios no blog Fatos Matemáticos
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