Divisão de Polinômios
Considere dois polinômios, A(x) e B(x), sendo B(x) um polinômio não identicamente nulo. Ao dividir A(x) por B(x) encontramos outros dois polinômios Q(x) e R(x), tais que:
Onde:
A(x) é o dividendo
B(x) é o divisor
Q(x) é o quociente
R(x) é o resto da divisão
Note que:
1) O grau de Q(x) é igual à diferença dos graus de A(x) e de B(x);
2) O grau do resto R(x), para R(x) não-nulo, será sempre menor que o grau do divisor B(x);
3) Se a divisão é exata, o resto R(x) é nulo, ou seja, o polinômio A(x) é divisível pelo polinômio B(x).
Divisão de Polinômios pelo Método da Chave
Para dividir um polinômio A(x) pelo polinômio B(x) na chave, indicamos como:
e adotamos um procedimento análogo ao algoritmo usado na aritmética.
Exemplo 1: seja dividir o polinômio 
pelo polinômio 
. Fazemos:
Primeiramente escrevemos os polinômios dados em ordem decrescente de seus expoentes e completamos o polinômio com termos de coeficiente zero:
e
Em seguida posicionamos os polinômios na forma de divisão por chave:
Agora, devemos obter o primeiro termo do quociente. Para isso, fazemos a divisão do termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau divisor. Em seguida, multiplicamos por cada termo do divisor e colocamos o resultado logo abaixo do dividendo para ser subtraído deste:
O que lemos nos livros didáticos é que: “Dividimos o termo de maio grau do divisor, obtendo o primeiro termo do quociente; a seguir multiplicamos o termo obtido pelo divisor e escrever o inverso do resultado sob o dividendo...” Isso fica muito esquisito. Como devemos subtrair este resultado do dividendo, fazemos:
Que é o mesmo que fazer:
Isso explica o porquê de escrever sob o dividendo o inverso do produto do divisor pelo primeiro termo do quociente. Nas próximas etapas já podemos escrever diretamente. Só paramos as iterações quando o resto obtido for de grau menor que o divisor.
Desta forma, obtemos:
Teorema do Resto
Definição 1: O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é p próprio valor numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).
De acordo com esta definição, temos:
onde R(x) = k (constante), pois o grau de (x – a) = 1
Logo: R(x) = P(a)
Exemplo 2: O resto da divisão do polinômio 
pelo binômio (x – 2) é dado pelo valor numérico do polinômio P(x) para x = 2, ou seja, para x igual à raiz do binômio:
Logo, o resto é R(x) = 27
Teorema do Resto de D’Alembert
Definição 2: A divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x – a) é exata se, e somente se, P(a) = 0.
Pelo teorema do resto, temos que R(x) = P(a). Se a divisão é exata e R(x) = 0, então P(a) = 0. Se P(a) = 0, então R(x) = 0, logo a divisão é exata.
Exemplo 3: A divisão do polinômio 
pelo binômio 
é exata, pos:
Divisão de um Polinômio P(x) por (x – a) . (x – b)
Definição 3: Sendo o polinômio P(x) divisível por (x – a) e por (x – b) com a diferente de b, então P(x) é divisível por (x – a) . (x – b).
Como o divisor (x – a) . (x – b) é de grau 2, o resto será no máximo de grau 1. Assim:
Como P(a) = 0, temos:
Como P(b) = 0, temos:
Subtraindo membro a membro a relação (2) de (1), obtemos:
Como a é diferente de b, entoa m = 0.
Substituindo m = 0 na relação (2), obtemos:
Logo, o resto R(x) = mx + q é identicamente nulo e P(x) é divisível por (x – a) . (x – b).
Exemplo 4: O polinômio 
é divisível por 
, pois:
Isto quer dizer que P(x) é divisível por (x – 3)
Que verifica que P(x) é divisível por (x + 2).
Logo, o polinômio P(x) é divisível por (x – 3) . (x + 2).
Veja mais:
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