Matemática

EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 2

Encontre a função y que satisfaz a seguinte EDO:

$y'-2xy=x$

Solução

Escrevemos com uma notação mais conveniente:

$\dpi{120} \frac{dy}{dx}-2xy=x$

Separamos as variáveis:

$\frac{dy}{dx}=x+2xy$

$\frac{dy}{dx}=x(1+2y)$

$\dpi{120} \frac{dy}{1+2y}=xdx$

Integramos ambos os lados:

$\int \frac{dy}{1+2y}=\int x\quad dx$

Usamos a técnica da substituição na integral do lado esquerdo:

$du=2dy\Leftrightarrow dy=\frac{du}{2}$

Substituímos as variáveis:

$\int \frac{\frac{du}{2}}{u}=\int x\quad dx$

$\int \frac{du}{2u}=\int x\quad dx$

Aplicamos a regra da constante na primeira integral:

$\frac{1}{2}\int \frac{du}{u}=\int x\quad dx$

Aplicamos as regras básicas e simplificamos a expressão:

$\frac{1}{2}(\ln u+C_1)=\frac{x^2}{2}+C_2$

$(\ln u+C_1)=2\left (\frac{x^2}{2}+C_2 \right )$

$\ln u+C_1=\frac{2x^2}{2}+2C_2 \right$

$\ln u=x^2+2C_2 \right-C_1$

$\ln u=x^2+C_3$

$\log_{e}u=x^2+C_3$

$e^{x^2+C_3}=u$

$e^{x^2}e^{C_3}=u$

$e^{x^2}C_4=u$

Voltamos para a variável original:

$e^{x^2}C_4=1+2y$

$1+2y=e^{x^2}C_4$

$2y=e^{x^2}C_4-1$

$y=\frac{e^{x^2}C_4-1}{2}$

$y=\frac{e^{x^2}C_4}{2}-\frac{1}{2}$

$y=\frac{C_4}{2}e^{x^2}-\frac{1}{2}$

$y=Ce^{x^2}-\frac{1}{2}$

É claro que podemos verificar o resultado:

$y=Ce^{x^2}-\frac{1}{2}$

$\dpi{120} y'=2Cxe^{x^2}$

Substituindo estes valores na EDO:

$y'-2xy=x$

$\dpi{120} 2Cxe^{x^2}-2x\left ( Ce^{x^2}-\frac{1}{2} \right )=x$

$\dpi{120} 2Cxe^{x^2}-2Cxe^{x^2}+\frac{2x}{2}=x$

$\dpi{120} 0+x=x$

$\dpi{120} x=x$

Evidentemente a equação foi satisfeita (pois substituindo y e y' obtemos uma igualdade válida).

Referência:

FIGUEIREDO, Djairo G. NEVES, Aloisio F. Equações Diferenciais Aplicadas. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. (Coleção matemática universitária)

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