Matemática
2º) O produto das raízes da equação do 2º grau através da relação:
2º ) Resolver a equação do 2º grau:
x2– 7x + 12 = 0.
Exemplo 2
- Equação Do Segundo Grau
Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa forma : a é o coeficiente de x2 ,...
- Equação Do 2º Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e...
- Relações De Girard
As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a,...
- Relações De Girard
Relações de GirardMarcos Noé Raízes de equações do 2º grauAlbert Girard aprofundou, aproximadamente no ano de 1629, os estudos sobre as raízes de equações do 2º grau criando relações entre os coeficientes a, b e c....
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação Completa do segundo grau Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero. Exemplos: 1. 2 x² + 7x + 5 = 0 2. 3 x² + x + 2 = 0 Equação incompleta do segundo grau Uma equação do segundo...
Matemática
Equação do Segundo Grau
As equações do 2º grau, ax2 + bx + c = 0 (a 
0) , possuem duas notáveis relações entre as raízes x1 e x2 e os coeficientes a, b e c.
0) , possuem duas notáveis relações entre as raízes x1 e x2 e os coeficientes a, b e c. São chamadas de relações de Soma e Produto ou relações de Girard.
Consideremos a equação do 2º grau:
ax2 + bx + c = 0, com a 0 e com as raízes:
0 e com as raízes: Podemos estabelecer:
1º) A soma das raízes da equação do 2º grau por meio da relação:
2º) O produto das raízes da equação do 2º grau através da relação:
A partir desses valores e, dividindo a equação ax2 + bx + c = 0 pela constante a (coeficiente de x2), teremos a equação apresentada pela igualdade:
em que S é a soma de suas raízes e P é o produto delas.
Podemos dar a essa nova apresentação da equação do 2º grau duas utilizações práticas:
1º ) Determinar uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7.
Tendo as raízes, podemos determinar:
S = 2 + 7 = 9 e P = 2 · 7 = 14
Com esses valores, podemos montar a equação:
que é uma das equações do 2º grau cujas raízes são 2 e 7.
2º ) Resolver a equação do 2º grau:
Pela observação da sentença que representa a equação, temos:
S = 7 e P = 12.
Basta, agora, com um “pouquinho” de criatividade, reconhecer dois números cuja soma é 7 e o produto é 12.
Claro que já percebemos que os números são 3 e 4. Portanto:
2. Resolvendo Equações com Mudança de Variável
Freqüentemente nos deparamos com equações que, mesmo não sendo do 2º grau, podem ser resolvidas com o auxílio dela. Nessas situações, devemos nos valer de mudanças nas variáveis da equação de tal forma que ela se transforme, temporariamente, numa equação do 2º grau, como nos exemplos que veremos a seguir:
Exemplo 1
Resolver a equação:
x4 – 3x2 – 4 = 0
Notemos que esta é uma equação de quarto grau, porém com uma característica particular: apresenta apenas os termos de grau par.
Se fizermos:
x2 = y
teremos:
y2 – 3y – 4 = 0
Resolvendo esta equação, teremos:
y1 = –1 e y2 = 4
Considerando que y está ocupando o lugar de x2, teremos:
x2 = –1 ou x2 = 4
Considerando 
, teremos:
, teremos:x = – 2 ou x = 2
Assim sendo:
Exemplo 2
Resolver a equação:
(x2 + x)2 – 14 (x2 + x) + 24 = 0
Evidentemente, os produtos e as potências indicados podem ser desenvolvidos originando uma equação do quarto grau com uma certa complexidade na sua resolução. Observemos, por outro lado, que a expressão (x2 + x) se apresenta na equação mais de uma vez. Podemos tomar a iniciativa de substituí-la por uma única incógnita.
Se fizermos:
x2 + x = m
teremos:
m2 – 14m + 24 = 0
A resolução desta equação nos leva a dois valores de m: 2 e 12, que são, portanto, os valores de x2 + x.
Logo:
x2 + x = 2 ou x2 + x = 12
Assim, determinaremos duas equações do 2º grau:
x2 + x – 2 = 0
e
x2 + x – 12 = 0
cujas soluções representarão as soluções da equação original. Assim sendo, e pela resolução destas equações, teremos:
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- Equação Do Segundo Grau
Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa forma : a é o coeficiente de x2 ,...
- Equação Do 2º Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e...
- Relações De Girard
As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a,...
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- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação Completa do segundo grau Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero. Exemplos: 1. 2 x² + 7x + 5 = 0 2. 3 x² + x + 2 = 0 Equação incompleta do segundo grau Uma equação do segundo...