Matemática
As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente.
As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3. A decomposição dessa equação permite a determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação. Observe:
ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) – x1*x2*x3
Dividindo a equação por a, temos:
Realizando a igualdade entre os polinômios:
x1 + x2 + x3 = – b/a
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a
x1 * x2 * x3 = – d/a
Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0. Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes, as quais quando relacionadas, formam as seguintes expressões:
x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a
x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a
x1 * x2 * x3 * x4 = e/a
Exemplo
Determine as relações de Girard para a equação algébrica: x³ + 7x² – 6x + 1 = 0, considerando x1, x2 e x3, as raízes da equação.
Na equação, temos que: a = 1, b = 7, c = – 6 e d = 1.
x1 + x2 + x3 = – b/a = –7/1 = –7
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a = –6/1 = – 6
x1 * x2 * x3 = – d/a = –1/1 = –1
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- Relação De Girard
Relações de Girard Considere a função polinomial F(x) = a0. xn + a1. xn – 1 + a2. xn – 2 +... + an – 1. x + an, sendo a0 ≠ 0 e n ≥ 1. Considerando o teorema da decomposição podemos representar F(x) = a0 . (x – r1) . (x – r2) . ......
- Relações De Girard
Relações de GirardMarcos Noé Raízes de equações do 2º grauAlbert Girard aprofundou, aproximadamente no ano de 1629, os estudos sobre as raízes de equações do 2º grau criando relações entre os coeficientes a, b e c....
- Equação Do Segundo Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais...
- Equação Do Segundo Grau
As equações do 2º grau, ax2 + bx + c = 0 (a 0) , possuem duas notáveis relações entre as raízes x1 e x2 e os coeficientes a, b e c. São chamadas de relações de Soma e Produto ou relações de Girard. Consideremos a equação...
- Equação Completa Do Segundo Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais...
Matemática
Relações de Girard
As fundamentações de Girard são responsáveis pela relação existente entre os coeficientes de uma equação algébrica e suas raízes. Na equação do 2º grau, as relações são obtidas por meio das fórmulas da soma e do produto: – b/a e c/a, respectivamente.
As equações do 3º grau possuem como lei de formação a equação algébrica: ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3. A decomposição dessa equação permite a determinação de expressões matemáticas capazes de relacionar as raízes da equação. Observe:
ax³ + bx² + cx + d = a[x³ – (x1+x2+x3)x² + (x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) – x1*x2*x3
Dividindo a equação por a, temos:
Realizando a igualdade entre os polinômios:
x1 + x2 + x3 = – b/a
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a
x1 * x2 * x3 = – d/a
Os polinômios do 4º grau possuem a seguinte lei de formação: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0. Nessa equação polinomial temos, no máximo, a existência de quatro possíveis raízes, as quais quando relacionadas, formam as seguintes expressões:
x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a
x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a
x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a
x1 * x2 * x3 * x4 = e/a
Exemplo
Determine as relações de Girard para a equação algébrica: x³ + 7x² – 6x + 1 = 0, considerando x1, x2 e x3, as raízes da equação.
Na equação, temos que: a = 1, b = 7, c = – 6 e d = 1.
x1 + x2 + x3 = – b/a = –7/1 = –7
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a = –6/1 = – 6
x1 * x2 * x3 = – d/a = –1/1 = –1
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- Relação De Girard
Relações de Girard Considere a função polinomial F(x) = a0. xn + a1. xn – 1 + a2. xn – 2 +... + an – 1. x + an, sendo a0 ≠ 0 e n ≥ 1. Considerando o teorema da decomposição podemos representar F(x) = a0 . (x – r1) . (x – r2) . ......
- Relações De Girard
Relações de GirardMarcos Noé Raízes de equações do 2º grauAlbert Girard aprofundou, aproximadamente no ano de 1629, os estudos sobre as raízes de equações do 2º grau criando relações entre os coeficientes a, b e c....
- Equação Do Segundo Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais...
- Equação Do Segundo Grau
As equações do 2º grau, ax2 + bx + c = 0 (a 0) , possuem duas notáveis relações entre as raízes x1 e x2 e os coeficientes a, b e c. São chamadas de relações de Soma e Produto ou relações de Girard. Consideremos a equação...
- Equação Completa Do Segundo Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais...