Matemática

Equações diofantinas lineares.

Olá!

O que você acha da equação abaixo?

[;7x+5y=2;]

Acha que não possui solução, que possui somente 1 solução ou acha possui infinitas soluções?

Hoje mostrarei como resolver equações diofantinas lineares. Que são equações da forma [;ax+by=c;]

onde x e y são incógnitas.

Antes uma pequena restrição.

A equação [;ax + by=c;]

adimite solução se e somente se [;mdc(a,b);]

divide

.

Demonstração: Vamos supor que [;x_0;]

sejam soluções das equações.
Como o [;mdc(a,b);]

divide

e divide

, então ele divide [;ax_0+by_0=c;]

.

Agora, suponha que [;mdc(a,b);]

divida c. Logo, $[;c=d\cdot k;]$ onde [;d=mdc(a,b);]

.

Pela relação de Bézout (que você pode ler mais clicando aqui) existem 2 inteiros x e y que satisfazem: [;mdc(a,b)=ax+by;]

como $[;c=d\cdot k;]$ então $[;mdc(a,b) \cdot k = c = a(x\cdot k) + b(y\cdot k);]$

C.Q.D.

Para resolver a equação inicialmente você deve verificar se [;mdc(a,b)=d;]

divide

.
Em caso afirmativo, devemos dividir ambos os lados da equação inicial por [;d;]

ficando
$[;\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}y=\frac{c}{d};]$
isso vai garantir que a "familia" de soluções que encontrarmos seja composta somente pelas possiveis soluções da equação inicial.

Depois, deve-se procurar uma solução particular para a equação reduzida [;(x_o,y_0);]

. E fazer:

[;x=x_0+bt;]

Onde

é um inteiro qualquer.

De fato isso funciona, pois
$[;\frac{a}{d}(x_0 + bt) + \frac{b}{d}(y_0-at)= \frac{a}{d}x_0 + \frac{abt}{d} + \frac{b}{d}y_0 - \frac{bat}{d}=\frac{a}{d} x_0 + \frac{b}{d} y_0=\frac{c}{d};]$

No caso da equação que apresentei no inicio do problema, [;mdc(7,5)=1;]

e a solução particular é
[;(x_0,y_0)=(1,-1);]

logo,

Observe que como a solução fica em função de um parâmetro t, sempre que ela tiver alguma solução, então ela terá infinitas.

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