Equações modulares

Sabemos que




Uma equação modular é aquela em que a incógnita "aparece dentro do módulo".

Vamos aqui apresentar alguns tipos de equações e suas estratégias de resolução.

Exemplo 1




O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.




Exemplo 2




Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.




Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:




Exemplo 3




Aqui também se desmembra a equação, com o devido cuidado quanto ao sinal da expressão do segundo membro da igualdade.

resolução.

Exemplo 1




O que queremos aqui é saber qual é o número cujo módulo é igual a 5. Segundo a definição de módulo, esse número pode ser 5 ou -5, pois ambos têm módulo igual a 5.
Assim, podemos dizer que "desmembramos" a equação em duas, para "tirarmos" o módulo.




Exemplo 2




Da mesma forma, devemos desmembrar a equação.




Assim, se voltarmos à igualdade inicial e substituirmos x por -5 ou 3, ela será verdadeira:




Exemplo 3




Logo, 0 e 2 são os valores que verificam as igualdades, quando colocados no lugar de x.

Exemplo 4




Nesse caso, queremos saber qual o valor de x para que a expressão tenha módulo igual a -5. Pela definição, sabemos que o módulo não pode ser igual a um número negativo. Logo, não existe tal valor de x.
Portanto, .

Exemplo 5







Exemplo 6




É bom lembrarmos uma das propriedades do módulo, segundo a qual .

Logo, a equação pode ser reescrita da seguinte forma: .

Agora, basta usar a técnica da substituição para facilitar a resolução.







Mas ainda não encontramos a solução da equação. Devemos voltar à substituição feita anteriormente.




Portanto, o conjunto solução da equação é .

Exemplo 7




Se, para eliminar cada módulo, desmembrarmos em dois casos, teremos quatro equações, porém com dois pares de equações repetidas. Assim, para facilitarmos a resolução, consideraremos dois casos:

*Michele Viana Debus de França é licenciada em matemática pela USP e mestre em educação matemática pela PUC-SP.

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