Matemática
Exercícios resolvidos
01. (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os números 0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3:
a) p(x) = x (x3 - 1)
b) p(x) = x (x - 1)3
c) p(x) = x3 (x - 1)
d) p(x) = (x3 - x) (x - 1)
e) p(x) = x (x3 + x2 - 2)
RESPOSTA: C
02. (PUCCAMP) Sabe-se que a equação 2x3 + x2 - 6x - 3 = 0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são:
a) inteiras e positivas;
b) inteiras e de sinais contrários;
c) não reais;
d) irracionais e positivas;
e) irracionais e de sinais contrários.
RESPOSTA: E
03. O polinômio de coeficientes inteiros, de menor grau possível, que tem como raízes 2 e i, pode ser:
a) x3 - 2x2 - x + 2
b) x2 + (2 - i) x - 2
c) x2 - (2 + i) x + 2i
d) x3 - 2x2 + x - 2
e) x3 + x2 - x - 2
RESPOSTA: D
04. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0, em que m e n são números reais, admite 1 + i (i sendo a unidade imaginária) como a raiz. Então m e n valem, respectivamente:
a) 2 e 2
b) 2 e 0
c) 0 e 2
d) 2 e -2
e) -2 e 0
RESPOSTA: E
05. Sabe-se que o número complexo i é solução da equação x4 - 3x2 - 4 = 0. Então:
a) essa equação tem uma solução de multiplicidade 2;
b) as soluções dessa equação formam uma progressão;
c) a equação tem duas soluções reais irracionais;
d) a equação tem 2 soluções reais racionais;
e) a equação não tem soluções reais.
RESPOSTA: D
06. Determinar a sabendo-se que 2 é raiz da equação x4 - 3x3 + 2x2 + ax - 3 = 0.
RESOLUÇÃO: a = 3/2
07. Resolver a equação x4 - 5x2 - 10x - 6 = 0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3.
RESOLUÇÃO: V = {-1; 3; -1 + 1; -1 - i}
08. Resolver a equação x3 - 3x2 - x + 3 = 0, sabendo-se que a soma de duas raízes é zero.
RESOLUÇÃO: O conjunto-verdade da equação é {-1; 1; 3}
09. Sabendo-se que 1 é a raiz da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0, determinar a e as demais raízes da equação.
RESOLUÇÃO: a = -5 e as demais raízes são -2 e 3.
10. Sendo P(x) um polinômio de 5° grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0,
obter o conjunto-verdade da equação P(x) - 1 = 0 e o valor de P(0).
RESOLUÇÃO: V = {1; 2; 3; 4; 5} e P(0) = 2
Equação Elementar - Exercícios resolvidos
01. A idade de dona Helena é igual à soma dos números de filhos e netos que ela tem. Cada um de seus filhos tem tantos filhos quantos são seus irmãos. Sabendo-se que dona Helena tem entre 70 e 85 anos, podemos concluir que sua idade, em anos, é:
a) 72
b) 75
c) 78
d) 80
e) 81
Resposta: E
02. Uma pessoa colocou, em três montes alinhados, a mesma quantidade de bolinhas. Em seguida, fez as seguintes operações: retirou de cada um dos montes laterais 3 bolinhas e colocou-as no monte do meio. Depois, retirou do monte do meio tantas bolinhas quantas ficaram no monte da esquerda. Desse modo, o monte do meio ficou com:
a) 9 bolinhas;
b) 15 bolinhas;
c) um número par de bolinhas;
d) tantas quantas em cada monte lateral;
e) não se pode determinar a quantidade, pois faltam dados.
Resposta: A
03. Um estudante precisa de n dias para ler um livro de 270 páginas, lendo p páginas por dia. Se ele ler p + 15 páginas por dia, levará n – 3 dias na leitura. O valor de n + p é:
a) 35
b) 39
c) 54
d) 42
e) 72
Resposta: B
04. Na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, os números a e c têm sinais contrários. Pode-se afirmar que:
a) A equação tem duas raízes reais de sinais contrários.
b) A equação tem duas raízes reais positivas.
c) A equação tem duas raízes reais negativas.
d) A equação pode não ter raízes reais.
e) n.d.a.
Resposta: A
05. Uma equação do 2º grau, cujo conjunto-verdade é {a, -b}, é:
a) 3x2 + x – 2 = 0
b) 9x2 + 3x – 2 = 0
c) 9x2 – 3x + 2 = 0
d) 9x2 – 3x – 2 = 0
e) 2x2 – 9x – 3 = 0
Resposta: B
06. A equação mx2 + 4x + m = 0 não admite raízes reais se:
a) m = 0
b) –2 < m < 2 c) –4 < m < 4 d) m < -2 e m > 2
e) m < -2 ou m > 2
Resposta: E
07. (UNICID) O valor de m, para que uma das raízes da equação x2 + mx + 27 = 0 seja o quadrado da outra é:
a) -3
b) -9
c) -12
d) 3
e) 6
RESPOSTA: C
08. Qual é o número que se deve subtrair de cada fator do produto 5 x 8 para que esse produto diminua de 42?
a) 6 ou 7
b) 2 ou -1
c) -20 ou 2
d) 3 ou -14
e) 4 ou 40
RESPOSTA: A
09. (PUC) Um professor propôs aos seus alunos a resposta de certa equação do 2° grau. Um dos alunos copiou errado apenas o coeficiente do termo do 1° grau e encontrou as raízes 1 e -3; outro, copiou errado apenas o termo constante, encontrando as raízes -2 e 4. Resolva a equação original, proposta por aquele professor.
RESOLUÇÃO: V = {-1; 3}
10. (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:
a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 - 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 - b2
RESPOSTA: A
Binômio de Newton - Exercícios resolvidos
01. (UNESP) Se n é um número inteiro positivo, pelo símbolo n! subentende-se o produto de n fatores distintos, n . (n - 1) . (n - 2) ... 2 . 1. Nestas condições, qual é o algarismo das unidades do número (9!8!)7!?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESPOSTA: A
Para as questões 02 a 05 - Utilizando o Teorema do Binômio de Newton, desenvolver:
02. (x + y)3
RESOLUÇÃO: x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
03. (x - y)4
RESOLUÇÃO: x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4
04. (2x + 1)5
RESOLUÇÃO: 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1
05. (x - 2)6
RESOLUÇÃO: x6 - 12x5 + 60x4 - 160x3 + 240x2 - 192x + 64
06. Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x2 + 2)10, feito segundo os expoentes decrescentes de x.
RESOLUÇÃO: 960 . x14
07. (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
RESPOSTA: B
08. Calcular a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3x + 2y)5.
RESOLUÇÃO: 3125
09. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (x - y)104 é:
a) 1
b) -1
c) 0
d) 104
e) 2
RESPOSTA: C
10. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (3x - 2y)n é:
a) 1
b) -1
c) 2
d) 2n
e) -2n
RESPOSTA: A
Conjuntos - Exercícios resolvidos
01. Assinale a FALSA:
a) Ø Ì{3}
b) {3}Ì{3}
c) Ø Ï{3}
d) 3 Î{3}
e) 3 = {3}
RESPOSTA: E
02. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}} podemos afirmar:
a) B Ì A
b) A = B
c) A ÎB
d) a = A
e) {A}ÎB
RESPOSTA: E
03. (FATEC) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {ab | a ÎA, b ÎA e a ¹ b}, o número de elementos de B que são números pares é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 13
RESPOSTA: C
04. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é:
a) 21
b) 128
c) 64
d) 32
e) 256
RESPOSTA: B
05. (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é:
a) 127
b) 125
c) 124
d) 120
e) 110
RESPOSTA: A
06. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:
a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?
RESOLUÇÃO: a) 80.000
b) 16.000
c) 85.000
d) 15.000
e) 80.000
f) 5.000
g) 20.000
h) 89.000
i) 96.000
07. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi:
a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600
RESPOSTA: D
08. (UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é:
a) 25%
b) 50%
c) 15%
d) 33%
e) 30%
RESPOSTA: E
09. (VUNESP) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo:
Marcas
A
B
C
A e B
A e C
B e C
A, B e C
Nenhuma delas
Número de Consumidores
109
203
162
25
28
41
5
115
Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é:
a) 99
b) 94
c) 90
d) 84
e) 79
RESPOSTA: D
10. (UF - Viçosa) Fez-se em uma população, uma pesquisa de mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas distintas A, B e C. Em relação à população consultada e com o auxílio dos resultados da pesquisa
tabelados abaixo:
Marcas
A
B
C
A e B
A e C
B e C
A, B e C
Nenhuma delas
Número de Consumidores
109
203
162
25
28
41
5
115
Determine:
a) O número de pessoas consultadas.
b) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C.
c) O número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas.
d) A porcentagem de pessoas que consomem as marcas A e B mas não consomem a marca C.
e) A porcentagem de pessoas que consomem apenas a marca C.
RESOLUÇÃO: a) 500
b) 257
c) 84
d) 4%
e) 19,6%
Fatoração - Exercícios resolvidos
01. Fatorar: (a + b) . x + 2(a + b)
RESOLUÇÃO: (a + b) . (x . 2)
02. Fatorar: (x + y)2 - (x - y)2
RESOLUÇÃO: 4xy
03. Fatorar: x4 - y4
RESOLUÇÃO: (x2 + y2) . (x + y) . (x - y)
04. Fatorar: 25x2 + 70x + 49
RESOLUÇÃO: (5x + 7)2
05. Calcular 2 4992
RESOLUÇÃO: 6 245 001
06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2 é igual a:
a) a2 + 2
b) 2a + 1
c) a2 + 1
d) 2a -1
e) a2
RESPOSTA: A
07. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente:
a) -1 e -1
b) 0 e 0
c) 1 e 1
d) 1 e -1
e) -1 e 1
RESPOSTA: E
08. Decomponha em fatores do primeiro grau: 6x2 - 5xy + y2
RESOLUÇÃO: (3x - y) . (2x - y)
09. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:
a) O produto dos dois números.
b) A soma dos dois números.
RESOLUÇÃO: a) 2
10. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
RESPOSTA: C
Função Logarítmica e Exponencial - Exercícios resolvidos
01. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é:
a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
e) 6
RESPOSTA: E
02. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:
a) x = 3 e a = 1
b) x = -3 e a > 1
c) x = 3 e a < 1 d) x = -2 e a < 1 e) x = 2 e a > 1
RESPOSTA: D
03. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em:
a) nenhum ponto;
b) 2 pontos;
c) 4 pontos;
d) 1 ponto;
e) infinitos pontos.
RESPOSTA: D
04. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2:
a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);
b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);
c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);
d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);
e) não intercepta o eixo dos x.
RESPOSTA: A
05. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de:
a) 900
b) 1000
c) 180
d) 810
e) 90
RESPOSTA: D
06. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
RESPOSTA: B
07. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am = log m . a
e) log am = m . log a
(Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)
RESPOSTA: E
08. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:
a) 0,0209
b) 0,09
c) 0,209
d) 1,09
e) 1,209
RESPOSTA: B
09. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são:
a) 9 e -4
b) 9 e 4
c) -4
d) 9
e) 5 e -4
RESPOSTA: D
10. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO.
Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
RESPOSTA: D
Noções de Lógica - Exercícios resolvidos
01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem
corrente as seguintes proposições:
a) ~q
b) p ^ q
c) p v q
d) p " q
e) p " (~q)
RESOLUÇÃO: a) Paulo não é paulista.
b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca.
c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca.
d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca.
e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca.
f) Paulo é paulista se, e somente se, Ronaldo é carioca.
02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano.
b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.
c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês.
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.
RESOLUÇÃO: a) p ^ q
b) (~p) v p
c) q " p
d) (~p) ^ (~q)
03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então:
a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q;
b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q;
c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa;
d) p =>q é falsa, qualquer que seja q
e) n.d.a.
RESPOSTA: B
04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se concluir que:
a) se x 3 antão y 7
b) se y = 7 então x = 3
c) se y 7 então x 3
d) se x = 5 então y = 5
e) se x = 7 então y = 3
RESPOSTA: C
05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira:
a) (2 = 3) => (2 . 3 = 5)
b) (2 = 2) => (2 . 3 = 5)
c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5)
d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5)
e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2))
RESPOSTA: A
06. (UGF) A negação de x > -2 é:
a) x > 2
b) x #-2
c) x < -2 d) x < 2 e) x #2 RESPOSTA: C 07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: a) nenhum gato é pardo; b) existe gato pardo; c) existe gato não pardo; d) existe um e um só gato pardo; e) nenhum gato não é pardo. RESPOSTA: C 08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: a) o gato não mia e o rato não chia; b) o gato mia ou o rato chia; c) o gato não mia ou o rato não chia; d) o gato e o rato não chiam nem miam; e) o gato chia e o rato mia. RESPOSTA: C 09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se concluir que: a) se A 2 antão B 5 b) se A = 5 então B = 2 c) se B 5 então A 2 d) se A = 2 então B = 2 e) se A = 5 então B 2 RESPOSTA: C 10. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é: a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. RESPOSTA: C Números Complexos - Exercícios resolvidos 01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: a) 1 + 11i b) 1 + 31i c) 29 + 11i d) 29 - 11i e) 29 + 31i RESPOSTA: C 02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a: a) i b) -i + 1 c) i - 1 d) i + 1 e) -i RESPOSTA: C 03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos RESPOSTA: C 04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é: a) zero b) i c) -i d) 1 e) -1 RESPOSTA: A 05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a: a) 1 b) -i c) 2i d) -i/2 e) i/2 RESPOSTA: E 06. A potência (1 - i )16 equivale a: a) 8 b) 16 - 4i c) 16 - 16i d) 256 - 16i e) 256 RESPOSTA: E 07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 RESPOSTA: E 08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é: a) -1 b) -i c) i d) i4 e) i5 RESPOSTA: D 09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i. RESOLUÇÃO: 3 - 2i; -3 + 2i 10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0. RESOLUÇÃO: V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i} Polinômios - Exercícios resolvidos 01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 - 7x2 + 3x - 4 para x = 2. RESOLUÇÃO: P(2) = -18 02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x3 + 6x2 + ax + b seja um cubo perfeito. RESOLUÇÃO: a = 12 e b = 8 03. (UESB) Se P(x) = xn - xn-1 + xn-2 - ... + x2 - x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a: a) 10 b) 12s c) 14 d) 16 e) 18 RESPOSTA: E 04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x2 P(x - 1) ≡ x3 + 2x + 2, então P(1) é igual a: a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) 2 RESPOSTA: E 05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x4 - 10x3 + 24x2 + 10x - 24 por x2 - 6x + 5, são: a) -1 e 5 b) -1 e -5 c) 1 e -5 d) 1 e 5 e) 0 e 1 RESPOSTA: A 06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 - 1 é divisível por x2 + x - 1, então m é igual a: a) -3 b) -2 c) -1 d) 1 e) 2 RESPOSTA: E 07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 - 2x2 - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se: a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo; b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16; c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84; d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2; e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo; RESPOSTA: E 08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 - 4x3 - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é: a) -5 b) -4 c) 5 d) 6 e) RESPOSTA: E 09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x4 - 12x3 + 47x2 + mx + n seja divisível por x2 - 7x + 6. Então m + n é igual a: a) 72 b) 0 c) -36 d) 36 e) 58 RESPOSTA: C 10. Para que o polinômio 2x4 - x3 + mx2 - nx + 2 seja divisível por x2 - x - 2, devemos ter: a) m = 1 e n = 6 b) m = -6 e n = -1 c) m = 6 e n = 1 d) m = -6 e n = 1 e) m = 6 e n = -1 RESPOSTA: D Juros e Porcentagem - Exercícios resolvidos 01. Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual é a porcentagem dos que têm 40 anos ou mais? RESOLUÇÃO: 16% 02. Quais são os juros simples produzidos por um capital de R$ 7200,00 empregados a 10% ao ano, durante 5 anos? RESOLUÇÃO: Os juros produzidos são de R$ 3600,00. 03. A que taxa anual foi empregado o capital de R$ 108.000,00 que, em 130 dias, rendeu juros simples de R$ 3.900,00? RESOLUÇÃO: A taxa é de 10% ao ano. 04. Sabe-se que R$ 500,00 representam x% de R$ 2.500,00, que 12 gramas são y% de 96 gramas e que 1.200 m2 equivalem a z% de 60km2. Os valores de x, y e z são, respectivamente: a) 10, 12; 2 b) 20, 12,5; 0,2 c) 20; 12,5; 0,002 d) 2; 12; 0,002 e) 20; 12; 0,002 RESPOSTA: C 05. Em uma promoção numa revenda da carros, está sendo dado um desconto de 18% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$ 16.000,00, então o preço para pagamento à vista desse carro será: a) R$ 13.120,00 b) R$ 13.220,00 c) R$ 13.320,00 d) R$ 13.420,00 e) R$ 13.520,00 RESPOSTA: A 06. (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a: a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80 RESPOSTA: C 07. É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a: a) 0,04% de x b) 4% de x c) 40% de x d) 0,004% de x e) 0,4% de x RESPOSTA: E 08. (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e por pf o preço final da mercadoria, tem-se: a) pf = 101% pi b) pf = pi c) pf = 99,9% pi d) pf = 99% pi e) pf = 90% pi RESPOSTA: D 09. Um vendedor ambulante vende vende seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o preço de custo é de: a) 10% b) 25% c) 33,333% d) 100% e) 120% RESPOSTA: D 10. (UnB) Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 20% ao ano duplica em: a) 24 anos b) 6 anos c) 12 anos d) 10 anos e) 5 anos RESPOSTA: E Probabilidade - Exercícios resolvidos 01. O número de chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: RESOLUÇÃO: 1/5 02. Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes. RESOLUÇÃO: Os eventos "número dois" e "número par" não são independentes. 03. Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as azuis, se 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar se os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. RESOLUÇÃO: Os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. 04. (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% RESPOSTA: B 05. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3° mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26% RESPOSTA: D 06. (VUNESP) A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo? RESOLUÇÃO: 1,445% 07. A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes? RESOLUÇÃO: 15,36% 08. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 3/5 b) 2;5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 RESPOSTA: A 09. Um baralho comum de 52 cartas, das quais 12 são figuras (valete, dama e rei), é subdividido aleatoriamente em 3 partes. As partes são colocadas sobre uma mesa com as faces das cartas viradas para baixo. A carta de cima de cada das três partes é desvirada. Com base na situação descrita, julgue os itens abaixo: (1) A chance de que as três cartas desviradas sejam figuras é maior do que 1%. (2) A probabilidade de que exatamente duas das cartas desviradas sejam figuras está entre 0,08 e 0,13%. (3) A probabilidade de que pelo menos uma das três cartas desviradas seja uma figura é maior do que 0,5%. RESOLUÇÃO: (1) F (0,99%) (2) V (0,119%) (3) V (55%) 10. (GV) Cada dia em que uma pessoa joga numa loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a 1/1000, independentemente dos resultados anteriores. a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma vez? b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao menos uma vez seja maior do que 0,3%? Obs: Não é necessário efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados. RESOLUÇÃO: a) 1 - (0,999)30 b) o menor número inteiro n tal que n > log0,9990,997.
Progressão Aritmética - Exercícios resolvidos
01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números:
I. 3, 7, 11, ...
II. 2, 6, 18, ...
III. 2, 5, 10, 17, ...
O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:
a) 15, 36 e 24
b) 15, 54 e 24
c) 15, 54 e 26
d) 17, 54 e 26
e) 17, 72 e 26
RESPOSTA: C
02. (FEFISA) Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f(n + 1) = 2 . f(n) + 1, então o valor de f(4) é:
a) 4
b) 7
c) 15
d) 31
e) 42
RESPOSTA: D
03. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12.
RESOLUÇÃO: a1 = 57
04. Em uma progressão aritmética sabe-se que a4 = 12 e a9 = 27. Calcular a5.
RESOLUÇÃO: a5 = 15
05. Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.
RESOLUÇÃO:(2; 7; 12; 17; ...)
06. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta ordem.
RESOLUÇÃO: x = 4
07. Em uma P. A. são dados a1 = 2, r = 3 e Sn = 57. Calcular an e n.
RESOLUÇÃO: n = 6 e a6 = 17
08. (OSEC) A soma dos dez primeiros termos de uma P. A. de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é:
a) 18,88
b) 9,5644
c) 9,5674
d) 18,9
e) 21,3
RESPOSTA: A
09. (UNICID) A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000, isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale:
a) 5870
b) 12985
c) 2100 . 399
d) 2100 . 379
e) 1050 . 379
RESPOSTA: E
10. (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale:
a) 18
b) 90
c) 8
d) 100
e) 9
RESPOSTA: A
Progressão Geométrica - Exercícios resolvidos
01. Determine a P. G. (an) em que a1 = 3 e an + 1 = 2 . an.
RESOLUÇÃO: (an) = (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...)
02. Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ...).
RESOLUÇÃO: a4 = -24 e a7 = 192
03. Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem.
RESOLUÇÃO: (2, 6, 18, 54, 162, 486, ...)
04. (PUC) Se a razão de uma P. G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P. G. é chamada:
a) decrescente
b) crescente
c) constante
d) alternante
e) singular
RESPOSTA: A
05. Na P. G. estritamente crescente (a1, a2, a3, ...) tem-se a1 + a6 = 1025 e a3 . a4 = 1024. Determine a razão da progressão geométrica.
RESOLUÇÃO: 4
06. O segundo termo de uma P. G. crescente tal que a1 = 8 e a3 = 18 é igual a:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 14
e) 15
RESPOSTA: C
07. As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será:
a) 256
b) 64
c) 16
d) 243
e) 729
RESPOSTA: A
08. Calcule o valor de k para que a soma dos k primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...) seja igual a 797161.
RESOLUÇÃO: k = 13
09. (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é:
a) -1700
b) -850
c) 850
d) 1700
e) 750
RESPOSTA: B
10. O lado de um triângulo eqüilátero mede 3m. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo eqüilátero e, assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos construídos.
RESOLUÇÃO: P1 + P2 + P3 + ... = 8m
Razão e Proporção - Exercícios resolvidos
01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:
a) 20
b) 22
c) 24
d) 28
e) 32
RESPOSTA: E
02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais.
RESOLUÇÃO: x = 3 e y = 6
03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.
RESOLUÇÃO: As partes são: 32, 48 e 80.
04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.
RESOLUÇÃO: A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00.
05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é:
a) 90
b) 96
c) 180
d) 72
e) -124
RESPOSTA: B
06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:
a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
e) x = 8 e y = 12
RESPOSTA: C
07. Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual:
a) a sentença que relaciona y com x?
b) o gráfico da função f: [-2; 3] ® ℝ definida pela sentença anterior?
c) o valor de y quando x = 2?
RESOLUÇÃO: a) y = 2x
c) y = 4
08. (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:
a) 1, 2 e 3
b) 1, 2 e 5
c) 1, 3 e 4
d) 1, 3 e 6
e) 1, 5 e 12
RESPOSTA: C
09. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:
a) 35
b) 49
c) 56
d) 42
e) 28
RESPOSTA: B
10. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:
a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00
b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00
d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00
RESPOSTA: C
Regra de Três - Exercícios resolvidos
01. Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:
a) 0,685m
b) 1,35m
c) 2,1m
d) 6,85
e) 18m
RESPOSTA: C
02. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m2?
a) 7 horas
b) 5 horas
c) 9 horas
d) 4 horas
e) 6h e 30min
RESPOSTA: A
03. Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido?
RESOLUÇÃO: 15 dias
04. Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a mais do que a segunda?
RESOLUÇÃO: 60m e 48m
05. De duas fontes, a primeira jorra 18l por hora e a segunda 80l. Qual é o tempo necessário para a segunda
jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos?
RESOLUÇÃO: 5min 37,5seg
06. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em
quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões?
a) 20
b) 15
c) 12
d) 10
e) 5
RESPOSTA: E
07. (PUCCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de:
a) 100
b) 200
c) 400
d) 500
e) 800
RESPOSTA: C
08. Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60cm de largura. Qual será o comprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de 0,90m?
RESOLUÇÃO: 2 000m
09. Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, durante 30 dias. Se os bares fossem 20 e se cada um deles recebesse 15 litros, durante quantos dias a destilaria poderia abastecê-los?
RESOLUÇÃO: 42 dias
10. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
a) 3
b) 2
c) 4
d) 6
e) 5
RESPOSTA: E
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01. (VUNESP) Assinale a alternativa que indica o polinômio que possui os números 0 e 1 como raízes, sendo 0 uma raiz de multiplicidade 3:
a) p(x) = x (x3 - 1)
b) p(x) = x (x - 1)3
c) p(x) = x3 (x - 1)
d) p(x) = (x3 - x) (x - 1)
e) p(x) = x (x3 + x2 - 2)
RESPOSTA: C
02. (PUCCAMP) Sabe-se que a equação 2x3 + x2 - 6x - 3 = 0 admite uma única raiz racional e não inteira. As demais raízes dessa equação são:
a) inteiras e positivas;
b) inteiras e de sinais contrários;
c) não reais;
d) irracionais e positivas;
e) irracionais e de sinais contrários.
RESPOSTA: E
03. O polinômio de coeficientes inteiros, de menor grau possível, que tem como raízes 2 e i, pode ser:
a) x3 - 2x2 - x + 2
b) x2 + (2 - i) x - 2
c) x2 - (2 + i) x + 2i
d) x3 - 2x2 + x - 2
e) x3 + x2 - x - 2
RESPOSTA: D
04. (FUVEST) A equação x3 + mx2 + 2x + n = 0, em que m e n são números reais, admite 1 + i (i sendo a unidade imaginária) como a raiz. Então m e n valem, respectivamente:
a) 2 e 2
b) 2 e 0
c) 0 e 2
d) 2 e -2
e) -2 e 0
RESPOSTA: E
05. Sabe-se que o número complexo i é solução da equação x4 - 3x2 - 4 = 0. Então:
a) essa equação tem uma solução de multiplicidade 2;
b) as soluções dessa equação formam uma progressão;
c) a equação tem duas soluções reais irracionais;
d) a equação tem 2 soluções reais racionais;
e) a equação não tem soluções reais.
RESPOSTA: D
06. Determinar a sabendo-se que 2 é raiz da equação x4 - 3x3 + 2x2 + ax - 3 = 0.
RESOLUÇÃO: a = 3/2
07. Resolver a equação x4 - 5x2 - 10x - 6 = 0, sabendo-se que duas de suas raízes são -1 e 3.
RESOLUÇÃO: V = {-1; 3; -1 + 1; -1 - i}
08. Resolver a equação x3 - 3x2 - x + 3 = 0, sabendo-se que a soma de duas raízes é zero.
RESOLUÇÃO: O conjunto-verdade da equação é {-1; 1; 3}
09. Sabendo-se que 1 é a raiz da equação x3 - 2x2 + ax + 6 = 0, determinar a e as demais raízes da equação.
RESOLUÇÃO: a = -5 e as demais raízes são -2 e 3.
10. Sendo P(x) um polinômio de 5° grau que satisfaz as condições 1 = P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = 0,
obter o conjunto-verdade da equação P(x) - 1 = 0 e o valor de P(0).
RESOLUÇÃO: V = {1; 2; 3; 4; 5} e P(0) = 2
Equação Elementar - Exercícios resolvidos
01. A idade de dona Helena é igual à soma dos números de filhos e netos que ela tem. Cada um de seus filhos tem tantos filhos quantos são seus irmãos. Sabendo-se que dona Helena tem entre 70 e 85 anos, podemos concluir que sua idade, em anos, é:
a) 72
b) 75
c) 78
d) 80
e) 81
Resposta: E
02. Uma pessoa colocou, em três montes alinhados, a mesma quantidade de bolinhas. Em seguida, fez as seguintes operações: retirou de cada um dos montes laterais 3 bolinhas e colocou-as no monte do meio. Depois, retirou do monte do meio tantas bolinhas quantas ficaram no monte da esquerda. Desse modo, o monte do meio ficou com:
a) 9 bolinhas;
b) 15 bolinhas;
c) um número par de bolinhas;
d) tantas quantas em cada monte lateral;
e) não se pode determinar a quantidade, pois faltam dados.
Resposta: A
03. Um estudante precisa de n dias para ler um livro de 270 páginas, lendo p páginas por dia. Se ele ler p + 15 páginas por dia, levará n – 3 dias na leitura. O valor de n + p é:
a) 35
b) 39
c) 54
d) 42
e) 72
Resposta: B
04. Na equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, os números a e c têm sinais contrários. Pode-se afirmar que:
a) A equação tem duas raízes reais de sinais contrários.
b) A equação tem duas raízes reais positivas.
c) A equação tem duas raízes reais negativas.
d) A equação pode não ter raízes reais.
e) n.d.a.
Resposta: A
05. Uma equação do 2º grau, cujo conjunto-verdade é {a, -b}, é:
a) 3x2 + x – 2 = 0
b) 9x2 + 3x – 2 = 0
c) 9x2 – 3x + 2 = 0
d) 9x2 – 3x – 2 = 0
e) 2x2 – 9x – 3 = 0
Resposta: B
06. A equação mx2 + 4x + m = 0 não admite raízes reais se:
a) m = 0
b) –2 < m < 2 c) –4 < m < 4 d) m < -2 e m > 2
e) m < -2 ou m > 2
Resposta: E
07. (UNICID) O valor de m, para que uma das raízes da equação x2 + mx + 27 = 0 seja o quadrado da outra é:
a) -3
b) -9
c) -12
d) 3
e) 6
RESPOSTA: C
08. Qual é o número que se deve subtrair de cada fator do produto 5 x 8 para que esse produto diminua de 42?
a) 6 ou 7
b) 2 ou -1
c) -20 ou 2
d) 3 ou -14
e) 4 ou 40
RESPOSTA: A
09. (PUC) Um professor propôs aos seus alunos a resposta de certa equação do 2° grau. Um dos alunos copiou errado apenas o coeficiente do termo do 1° grau e encontrou as raízes 1 e -3; outro, copiou errado apenas o termo constante, encontrando as raízes -2 e 4. Resolva a equação original, proposta por aquele professor.
RESOLUÇÃO: V = {-1; 3}
10. (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, onde a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a:
a) a2 - 2b
b) a2 + 2b
c) a2 - 2b2
d) a2 + 2b2
e) a2 - b2
RESPOSTA: A
Binômio de Newton - Exercícios resolvidos
01. (UNESP) Se n é um número inteiro positivo, pelo símbolo n! subentende-se o produto de n fatores distintos, n . (n - 1) . (n - 2) ... 2 . 1. Nestas condições, qual é o algarismo das unidades do número (9!8!)7!?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
RESPOSTA: A
Para as questões 02 a 05 - Utilizando o Teorema do Binômio de Newton, desenvolver:
02. (x + y)3
RESOLUÇÃO: x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
03. (x - y)4
RESOLUÇÃO: x4 - 4x3y + 6x2y2 - 4xy3 + y4
04. (2x + 1)5
RESOLUÇÃO: 32x5 + 80x4 + 80x3 + 40x2 + 10x + 1
05. (x - 2)6
RESOLUÇÃO: x6 - 12x5 + 60x4 - 160x3 + 240x2 - 192x + 64
06. Calcular o quarto termo do desenvolvimento de (x2 + 2)10, feito segundo os expoentes decrescentes de x.
RESOLUÇÃO: 960 . x14
07. (CESGRANRIO) O coeficiente de x4 no polinômio P(x) = (x + 2)6 é:
a) 64
b) 60
c) 12
d) 4
e) 24
RESPOSTA: B
08. Calcular a soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de (3x + 2y)5.
RESOLUÇÃO: 3125
09. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (x - y)104 é:
a) 1
b) -1
c) 0
d) 104
e) 2
RESPOSTA: C
10. A soma dos coeficientes numéricos dos termos do desenvolvimento de (3x - 2y)n é:
a) 1
b) -1
c) 2
d) 2n
e) -2n
RESPOSTA: A
Conjuntos - Exercícios resolvidos
01. Assinale a FALSA:
a) Ø Ì{3}
b) {3}Ì{3}
c) Ø Ï{3}
d) 3 Î{3}
e) 3 = {3}
RESPOSTA: E
02. (PUC) Para os conjuntos A = {a} e B = {a, {A}} podemos afirmar:
a) B Ì A
b) A = B
c) A ÎB
d) a = A
e) {A}ÎB
RESPOSTA: E
03. (FATEC) Sendo A = {2, 3, 5, 6, 9, 13} e B = {ab | a ÎA, b ÎA e a ¹ b}, o número de elementos de B que são números pares é:
a) 5
b) 8
c) 10
d) 12
e) 13
RESPOSTA: C
04. (UnB) Dado o conjunto {a, b, c, d, e, f, g} o número máximo de subconjuntos distintos é:
a) 21
b) 128
c) 64
d) 32
e) 256
RESPOSTA: B
05. (FEI) Se n é o número de subconjuntos não-vazios do conjunto formado pelos múltiplos estritamente positivos de 5, menores do que 40, então o valor de n é:
a) 127
b) 125
c) 124
d) 120
e) 110
RESPOSTA: A
06. No último clássico Corinthians x Flamengo, realizado em São Paulo, verificou-se que só foram ao estádio paulistas e cariocas e que todos eles eram só corintianos ou só flamenguistas. Verificou-se também que, dos 100.000 torcedores, 85.000 eram corintianos, 84.000 eram paulistas e que apenas 4.000 paulistas torciam para o Flamengo. Pergunta-se:
a) Quantos paulistas corintianos foram ao estádio?
b) Quantos cariocas foram ao estádio?
c) Quantos não-flamenguistas foram ao estádio?
d) Quantos flamenguistas foram ao estádio?
e) Dos paulistas que foram ao estádio, quantos não eram flamenguistas?
f) Dos cariocas que foram ao estádio, quantos eram corintianos?
g) Quantos eram flamenguistas ou cariocas?
h) Quantos eram corintianos ou paulistas?
i) Quantos torcedores eram não-paulistas ou não-flamenguistas?
RESOLUÇÃO: a) 80.000
b) 16.000
c) 85.000
d) 15.000
e) 80.000
f) 5.000
g) 20.000
h) 89.000
i) 96.000
07. (ESAL) Foi consultado um certo número de pessoas sobre as emissoras de TV que habitualmente assistem. Obteve-se o resultado seguinte: 300 pessoas assistem ao canal A, 270 pessoas assistem o canal B, das quais 150 assistem ambos os canais A e B e 80 assistem outros canais distintos de A e B. O número de pessoas consultadas foi:
a) 800
b) 720
c) 570
d) 500
e) 600
RESPOSTA: D
08. (UF - Uberlândia) Num grupo de estudantes, 80% estudam Inglês, 40% estudam Francês e 10% não estudam nenhuma dessas duas línguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que estudam ambas as línguas é:
a) 25%
b) 50%
c) 15%
d) 33%
e) 30%
RESPOSTA: E
09. (VUNESP) Uma população utiliza 3 marcas diferentes de detergente: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado colheram-se os resultados tabelados abaixo:
Marcas
A
B
C
A e B
A e C
B e C
A, B e C
Nenhuma delas
Número de Consumidores
109
203
162
25
28
41
5
115
Pode-se concluir que o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas é:
a) 99
b) 94
c) 90
d) 84
e) 79
RESPOSTA: D
10. (UF - Viçosa) Fez-se em uma população, uma pesquisa de mercado sobre o consumo de sabão em pó de três marcas distintas A, B e C. Em relação à população consultada e com o auxílio dos resultados da pesquisa
tabelados abaixo:
Marcas
A
B
C
A e B
A e C
B e C
A, B e C
Nenhuma delas
Número de Consumidores
109
203
162
25
28
41
5
115
Determine:
a) O número de pessoas consultadas.
b) O número de pessoas que não consomem as marcas A ou C.
c) O número de pessoas que consomem pelo menos duas marcas.
d) A porcentagem de pessoas que consomem as marcas A e B mas não consomem a marca C.
e) A porcentagem de pessoas que consomem apenas a marca C.
RESOLUÇÃO: a) 500
b) 257
c) 84
d) 4%
e) 19,6%
Fatoração - Exercícios resolvidos
01. Fatorar: (a + b) . x + 2(a + b)
RESOLUÇÃO: (a + b) . (x . 2)
02. Fatorar: (x + y)2 - (x - y)2
RESOLUÇÃO: 4xy
03. Fatorar: x4 - y4
RESOLUÇÃO: (x2 + y2) . (x + y) . (x - y)
04. Fatorar: 25x2 + 70x + 49
RESOLUÇÃO: (5x + 7)2
05. Calcular 2 4992
RESOLUÇÃO: 6 245 001
06. Dado que x = a + x-1, a expressão x2 + x-2 é igual a:
a) a2 + 2
b) 2a + 1
c) a2 + 1
d) 2a -1
e) a2
RESPOSTA: A
07. (PUC) Sendo x3 + 1 = (x + 1) (x2 + ax + b) para todo x real, os valores de a e b são, respectivamente:
a) -1 e -1
b) 0 e 0
c) 1 e 1
d) 1 e -1
e) -1 e 1
RESPOSTA: E
08. Decomponha em fatores do primeiro grau: 6x2 - 5xy + y2
RESOLUÇÃO: (3x - y) . (2x - y)
09. (FUVEST) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:
a) O produto dos dois números.
b) A soma dos dois números.
RESOLUÇÃO: a) 2
10. (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
RESPOSTA: C
Função Logarítmica e Exponencial - Exercícios resolvidos
01. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O produto das soluções da equação (43 - x)2 - x = 1 é:
a) 0
b) 1
c) 4
d) 5
e) 6
RESPOSTA: E
02. (PUCCAMP) Considere a sentença a2x + 3 > a8, na qual x é uma variável real e a é uma constante real positiva. Essa sentença é verdadeira se, por exemplo:
a) x = 3 e a = 1
b) x = -3 e a > 1
c) x = 3 e a < 1 d) x = -2 e a < 1 e) x = 2 e a > 1
RESPOSTA: D
03. As funções y = ax e y = bx com a > 0 e b > 0 e a b têm gráficos que se interceptam em:
a) nenhum ponto;
b) 2 pontos;
c) 4 pontos;
d) 1 ponto;
e) infinitos pontos.
RESPOSTA: D
04. (U. E. FEIRA DE SANTANA - BA) O gráfico da função real f(x) = x2 - 2:
a) intercepta o eixo dos x no ponto (1, 0);
b) intercepta o eixo dos x no ponto (0, 1);
c) intercepta o eixo dos x no ponto (2, 0);
d) intercepta o eixo dos x no ponto (0, -2);
e) não intercepta o eixo dos x.
RESPOSTA: A
05. (FIC / FACEM) A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir daí, a produção anual passou a seguir a lei y = 1000 . (0,9)x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse período recessivo foi de:
a) 900
b) 1000
c) 180
d) 810
e) 90
RESPOSTA: D
06. (U. E. LONDRINA) Supondo que exista, o logaritmo de a na base b é:
a) o número ao qual se eleva a para se obter b.
b) o número ao qual se eleva b para se obter a.
c) a potência de base b e expoente a.
d) a potência de base a e expoente b.
e) a potência de base 10 e expoente a.
RESPOSTA: B
07. (PUC) Assinale a propriedade válida sempre:
a) log (a . b) = log a . log b
b) log (a + b) = log a + log b
c) log m . a = m . log a
d) log am = log m . a
e) log am = m . log a
(Supor válidas as condições de existências dos logaritmos)
RESPOSTA: E
08. (CESGRANRIO) Se log10123 = 2,09, o valor de log101,23 é:
a) 0,0209
b) 0,09
c) 0,209
d) 1,09
e) 1,209
RESPOSTA: B
09. Os valores de x que satisfazem log x + log (x - 5) = log 36 são:
a) 9 e -4
b) 9 e 4
c) -4
d) 9
e) 5 e -4
RESPOSTA: D
10. (UERJ) Em uma calculadora científica de 12 dígitos quando se aperta a tecla log, aparece no visor o logaritmo decimal do número que estava no visor. Se a operação não for possível, aparece no visor a palavra ERRO.
Depois de digitar 42 bilhões, o número de vezes que se deve apertar a tecla log para que, no visor, apareça ERRO pela primeira vez é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
RESPOSTA: D
Noções de Lógica - Exercícios resolvidos
01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem
corrente as seguintes proposições:
a) ~q
b) p ^ q
c) p v q
d) p " q
e) p " (~q)
RESOLUÇÃO: a) Paulo não é paulista.
b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca.
c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca.
d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca.
e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca.
f) Paulo é paulista se, e somente se, Ronaldo é carioca.
02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano.
b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.
c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês.
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.
RESOLUÇÃO: a) p ^ q
b) (~p) v p
c) q " p
d) (~p) ^ (~q)
03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então:
a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q;
b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q;
c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa;
d) p =>q é falsa, qualquer que seja q
e) n.d.a.
RESPOSTA: B
04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se concluir que:
a) se x 3 antão y 7
b) se y = 7 então x = 3
c) se y 7 então x 3
d) se x = 5 então y = 5
e) se x = 7 então y = 3
RESPOSTA: C
05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira:
a) (2 = 3) => (2 . 3 = 5)
b) (2 = 2) => (2 . 3 = 5)
c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5)
d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5)
e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2))
RESPOSTA: A
06. (UGF) A negação de x > -2 é:
a) x > 2
b) x #-2
c) x < -2 d) x < 2 e) x #2 RESPOSTA: C 07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é: a) nenhum gato é pardo; b) existe gato pardo; c) existe gato não pardo; d) existe um e um só gato pardo; e) nenhum gato não é pardo. RESPOSTA: C 08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é: a) o gato não mia e o rato não chia; b) o gato mia ou o rato chia; c) o gato não mia ou o rato não chia; d) o gato e o rato não chiam nem miam; e) o gato chia e o rato mia. RESPOSTA: C 09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se concluir que: a) se A 2 antão B 5 b) se A = 5 então B = 2 c) se B 5 então A 2 d) se A = 2 então B = 2 e) se A = 5 então B 2 RESPOSTA: C 10. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente verdadeira é: a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m; b) pelo menos duas delas são do sexo feminino; c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês; d) pelo menos uma delas nasceu num dia par; e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro. RESPOSTA: C Números Complexos - Exercícios resolvidos 01. O produto (5 + 7i) (3 - 2i) vale: a) 1 + 11i b) 1 + 31i c) 29 + 11i d) 29 - 11i e) 29 + 31i RESPOSTA: C 02. Se f(z) = z2 - z + 1, então f(1 - i) é igual a: a) i b) -i + 1 c) i - 1 d) i + 1 e) -i RESPOSTA: C 03. (FUVEST) Sendo i a unidade imaginária (i2 = -1) pergunta-se: quantos números reais a existem para os quais (a + 1)4 é um número real? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) infinitos RESPOSTA: C 04. Sendo i a unidade imaginária o valor de i10 + i-100 é: a) zero b) i c) -i d) 1 e) -1 RESPOSTA: A 05. Sendo i a unidade imaginária, (1 - i )-2 é igual a: a) 1 b) -i c) 2i d) -i/2 e) i/2 RESPOSTA: E 06. A potência (1 - i )16 equivale a: a) 8 b) 16 - 4i c) 16 - 16i d) 256 - 16i e) 256 RESPOSTA: E 07. Se os números complexos z1 = 2 - i e z2 = x + 1, x real e positivo, são tais que |z1 . z2|2 = 10 então x é igual a: a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 RESPOSTA: E 08. O módulo do complexo cos a - i . sen a é: a) -1 b) -i c) i d) i4 e) i5 RESPOSTA: D 09. Calcular as raízes quadradas do número complexo 5 - 12i. RESOLUÇÃO: 3 - 2i; -3 + 2i 10. Achar o conjunto-verdade, em R, da equação x8 - 17x4 + 16 = 0. RESOLUÇÃO: V = {1, i, -1, -i, 2, 2i, -2, -2i} Polinômios - Exercícios resolvidos 01. Calcular o valor numérico do polinômio P(x) = x3 - 7x2 + 3x - 4 para x = 2. RESOLUÇÃO: P(2) = -18 02. Determinar os valores reais de a e b para que o polinômio x3 + 6x2 + ax + b seja um cubo perfeito. RESOLUÇÃO: a = 12 e b = 8 03. (UESB) Se P(x) = xn - xn-1 + xn-2 - ... + x2 - x + 1 e P(-1) = 19, então n é igual a: a) 10 b) 12s c) 14 d) 16 e) 18 RESPOSTA: E 04. (UBERL) Se P(x) é um polinômio tal que 2P(x) + x2 P(x - 1) ≡ x3 + 2x + 2, então P(1) é igual a: a) 0 b) -1 c) 1 d) -2 e) 2 RESPOSTA: E 05. As soluções da equação Q(x) = 0, em que Q(x) é o quociente do polinômio x4 - 10x3 + 24x2 + 10x - 24 por x2 - 6x + 5, são: a) -1 e 5 b) -1 e -5 c) 1 e -5 d) 1 e 5 e) 0 e 1 RESPOSTA: A 06. (UESP) Se o polinômio P(x) = x3 + mx2 - 1 é divisível por x2 + x - 1, então m é igual a: a) -3 b) -2 c) -1 d) 1 e) 2 RESPOSTA: E 07. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 - 2x2 - 4x - 21 por x + 3, obtêm-se: a) x3 - 2x2 + x -12 com resto nulo; b) x3 - 2x2 + 3 com resto 16; c) x3 - x2 -13x + 35 e resto 84; d) x3 - x2 - 3x + 1com resto 2; e) x3 - x2 + x -7 e resto nulo; RESPOSTA: E 08. (UEL) Se o resto da divisão do polinômio p = x4 - 4x3 - kx - 75 por (x - 5) é 10, o valor de k é: a) -5 b) -4 c) 5 d) 6 e) RESPOSTA: E 09. Sejam m e n determinados de tal modo que o polinômio x4 - 12x3 + 47x2 + mx + n seja divisível por x2 - 7x + 6. Então m + n é igual a: a) 72 b) 0 c) -36 d) 36 e) 58 RESPOSTA: C 10. Para que o polinômio 2x4 - x3 + mx2 - nx + 2 seja divisível por x2 - x - 2, devemos ter: a) m = 1 e n = 6 b) m = -6 e n = -1 c) m = 6 e n = 1 d) m = -6 e n = 1 e) m = 6 e n = -1 RESPOSTA: D Juros e Porcentagem - Exercícios resolvidos 01. Numa cidade de 50000 habitantes, 42000 têm menos de 40 anos de idade. Qual é a porcentagem dos que têm 40 anos ou mais? RESOLUÇÃO: 16% 02. Quais são os juros simples produzidos por um capital de R$ 7200,00 empregados a 10% ao ano, durante 5 anos? RESOLUÇÃO: Os juros produzidos são de R$ 3600,00. 03. A que taxa anual foi empregado o capital de R$ 108.000,00 que, em 130 dias, rendeu juros simples de R$ 3.900,00? RESOLUÇÃO: A taxa é de 10% ao ano. 04. Sabe-se que R$ 500,00 representam x% de R$ 2.500,00, que 12 gramas são y% de 96 gramas e que 1.200 m2 equivalem a z% de 60km2. Os valores de x, y e z são, respectivamente: a) 10, 12; 2 b) 20, 12,5; 0,2 c) 20; 12,5; 0,002 d) 2; 12; 0,002 e) 20; 12; 0,002 RESPOSTA: C 05. Em uma promoção numa revenda da carros, está sendo dado um desconto de 18% para pagamento à vista. Se um carro é anunciado por R$ 16.000,00, então o preço para pagamento à vista desse carro será: a) R$ 13.120,00 b) R$ 13.220,00 c) R$ 13.320,00 d) R$ 13.420,00 e) R$ 13.520,00 RESPOSTA: A 06. (PUC - RS) Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a: a) 2 b) 5 c) 20 d) 40 e) 80 RESPOSTA: C 07. É correto afirmar que 5% de 8% de x é igual a: a) 0,04% de x b) 4% de x c) 40% de x d) 0,004% de x e) 0,4% de x RESPOSTA: E 08. (VUNESP) Uma mercadoria teve seu preço acrescido de 10%. Tempos depois, esse novo preço sofreu um desconto de 10%. Denotando-se por pi o preço inicial e por pf o preço final da mercadoria, tem-se: a) pf = 101% pi b) pf = pi c) pf = 99,9% pi d) pf = 99% pi e) pf = 90% pi RESPOSTA: D 09. Um vendedor ambulante vende vende seus produtos com lucro de 50% sobre o preço de venda. Então, seu lucro sobre o preço de custo é de: a) 10% b) 25% c) 33,333% d) 100% e) 120% RESPOSTA: D 10. (UnB) Um capital aplicado, a juros simples, a uma taxa de 20% ao ano duplica em: a) 24 anos b) 6 anos c) 12 anos d) 10 anos e) 5 anos RESPOSTA: E Probabilidade - Exercícios resolvidos 01. O número de chapa de um carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é: RESOLUÇÃO: 1/5 02. Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes. RESOLUÇÃO: Os eventos "número dois" e "número par" não são independentes. 03. Numa urna existem apenas 6 bolas vermelhas e 4 bolas azuis. As bolas vermelhas são numeradas de 1 a 6 e as azuis, se 1 a 4. Retirando, aleatoriamente, uma bola dessa urna, verificar se os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. RESOLUÇÃO: Os eventos "bola vermelha" e "número par" são independentes. 04. (UNI- RIO) As probabilidades de três jogadores marcarem um gol cobrando pênalti são, respectivamente, 1/2, 2/5, e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de todos errarem é igual a: a) 3% b) 5% c) 17% d) 20% e) 25% RESPOSTA: B 05. Sabendo-se que a probabilidade de que um animal adquira certa enfermidade, no decurso de cada mês, é igual a 30%, a probabilidade de que um animal sadio venha a contrair a doença só no 3° mês é igual a: a) 21% b) 49% c) 6,3% d) 14,7% e) 26% RESPOSTA: D 06. (VUNESP) A eficácia de um teste de laboratório para checar certa doença nas pessoas que comprovadamente têm essa doença é de 90%. Esse mesmo teste, porém, produz um falso-positivo (acusa positivo em quem não tem comprovadamente a doença) da ordem de 1%. Em um grupo populacional em que a incidência dessa doença é de 0,5%, seleciona-se uma pessoa ao acaso para fazer o teste. Qual a probabilidade de que o resultado desse teste venha a ser positivo? RESOLUÇÃO: 1,445% 07. A probabilidade de um atirador acertar um alvo em um único tiro é 0,2. Com apenas 4 tiros, qual a probabilidade de esse atirador acertar o alvo só duas vezes? RESOLUÇÃO: 15,36% 08. Uma urna contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 e outra urna com 5 bolas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola de cada uma, a probabilidade da soma dos pontos ser maior do que 4 é: a) 3/5 b) 2;5 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 RESPOSTA: A 09. Um baralho comum de 52 cartas, das quais 12 são figuras (valete, dama e rei), é subdividido aleatoriamente em 3 partes. As partes são colocadas sobre uma mesa com as faces das cartas viradas para baixo. A carta de cima de cada das três partes é desvirada. Com base na situação descrita, julgue os itens abaixo: (1) A chance de que as três cartas desviradas sejam figuras é maior do que 1%. (2) A probabilidade de que exatamente duas das cartas desviradas sejam figuras está entre 0,08 e 0,13%. (3) A probabilidade de que pelo menos uma das três cartas desviradas seja uma figura é maior do que 0,5%. RESOLUÇÃO: (1) F (0,99%) (2) V (0,119%) (3) V (55%) 10. (GV) Cada dia em que uma pessoa joga numa loteria, ela tem uma probabilidade de ganhar igual a 1/1000, independentemente dos resultados anteriores. a) Se ela jogar 30 dias, qual a probabilidade de ganhar ao menos uma vez? b) Qual o número mínimo de dias em que ele deverá jogar para que a probabilidade de que ela ganhe ao menos uma vez seja maior do que 0,3%? Obs: Não é necessário efetuar os cálculos, basta deixá-los indicados. RESOLUÇÃO: a) 1 - (0,999)30 b) o menor número inteiro n tal que n > log0,9990,997.
Progressão Aritmética - Exercícios resolvidos
01. (FATES) Considere as seguintes seqüências de números:
I. 3, 7, 11, ...
II. 2, 6, 18, ...
III. 2, 5, 10, 17, ...
O número que continua cada uma das seqüências na ordem dada deve ser respectivamente:
a) 15, 36 e 24
b) 15, 54 e 24
c) 15, 54 e 26
d) 17, 54 e 26
e) 17, 72 e 26
RESPOSTA: C
02. (FEFISA) Se numa seqüência temos que f(1) = 3 e f(n + 1) = 2 . f(n) + 1, então o valor de f(4) é:
a) 4
b) 7
c) 15
d) 31
e) 42
RESPOSTA: D
03. Determinar o primeiro termo de uma progressão aritmética de razão -5 e décimo termo igual a 12.
RESOLUÇÃO: a1 = 57
04. Em uma progressão aritmética sabe-se que a4 = 12 e a9 = 27. Calcular a5.
RESOLUÇÃO: a5 = 15
05. Interpolar 10 meios aritméticos entre 2 e 57 e escrever a P. A. correspondente com primeiro termo igual a 2.
RESOLUÇÃO:(2; 7; 12; 17; ...)
06. Determinar x tal que 2x - 3; 2x + 1; 3x + 1 sejam três números em P. A. nesta ordem.
RESOLUÇÃO: x = 4
07. Em uma P. A. são dados a1 = 2, r = 3 e Sn = 57. Calcular an e n.
RESOLUÇÃO: n = 6 e a6 = 17
08. (OSEC) A soma dos dez primeiros termos de uma P. A. de primeiro termo 1,87 e de razão 0,004 é:
a) 18,88
b) 9,5644
c) 9,5674
d) 18,9
e) 21,3
RESPOSTA: A
09. (UNICID) A soma dos múltiplos de 5 entre 100 e 2000, isto é, 105 + 110 + 115 + ... + 1995, vale:
a) 5870
b) 12985
c) 2100 . 399
d) 2100 . 379
e) 1050 . 379
RESPOSTA: E
10. (UE - PONTA GROSSA) A soma dos termos de P. A. é dada por Sn = n2 - n, n = 1, 2, 3, ... Então o 10° termo da P. A vale:
a) 18
b) 90
c) 8
d) 100
e) 9
RESPOSTA: A
Progressão Geométrica - Exercícios resolvidos
01. Determine a P. G. (an) em que a1 = 3 e an + 1 = 2 . an.
RESOLUÇÃO: (an) = (3, 6, 12, 24, 48, 96, ...)
02. Calcule o quarto e o sétimo termos da P. G. (3, -6, 12, ...).
RESOLUÇÃO: a4 = -24 e a7 = 192
03. Insira 4 meios geométricos entre 2 e 486, nesta ordem.
RESOLUÇÃO: (2, 6, 18, 54, 162, 486, ...)
04. (PUC) Se a razão de uma P. G. é maior que 1 e o primeiro termo é negativo, a P. G. é chamada:
a) decrescente
b) crescente
c) constante
d) alternante
e) singular
RESPOSTA: A
05. Na P. G. estritamente crescente (a1, a2, a3, ...) tem-se a1 + a6 = 1025 e a3 . a4 = 1024. Determine a razão da progressão geométrica.
RESOLUÇÃO: 4
06. O segundo termo de uma P. G. crescente tal que a1 = 8 e a3 = 18 é igual a:
a) 10
b) 11
c) 12
d) 14
e) 15
RESPOSTA: C
07. As medidas do lado, do perímetro e da área de um quadrado estão em progressão geométrica, nessa ordem. A área do quadrado será:
a) 256
b) 64
c) 16
d) 243
e) 729
RESPOSTA: A
08. Calcule o valor de k para que a soma dos k primeiros termos da progressão geométrica (1, 3, 9, ...) seja igual a 797161.
RESOLUÇÃO: k = 13
09. (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40 e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é:
a) -1700
b) -850
c) 850
d) 1700
e) 750
RESPOSTA: B
10. O lado de um triângulo eqüilátero mede 3m. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se um novo triângulo eqüilátero. Unindo-se os pontos médios do novo triângulo, obtém-se outro triângulo eqüilátero e, assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos construídos.
RESOLUÇÃO: P1 + P2 + P3 + ... = 8m
Razão e Proporção - Exercícios resolvidos
01. Se (3, x, 14, ...) e (6, 8, y, ...) forem grandezas diretamente proporcionais, então o valor de x + y é:
a) 20
b) 22
c) 24
d) 28
e) 32
RESPOSTA: E
02. Calcular x e y sabendo-se que (1, 2, x, ...) e (12, y, 4, ...) são grandezas inversamente proporcionais.
RESOLUÇÃO: x = 3 e y = 6
03. Dividir o número 160 em três partes diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5.
RESOLUÇÃO: As partes são: 32, 48 e 80.
04. Repartir uma herança de R$ 495.000,00 entre três pessoas na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada uma delas. Sabe-se que a 1ª pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a 2ª pessoa tem 36 anos e 3 filhos e a 3ª pessoa 48 anos e 6 filhos.
RESOLUÇÃO: A 1ª pessoa deve receber R$ 120.000,00, a 2ª pessoa R$ 150.000,00 e a terceira pessoa R$ 225.000,00.
05. Dois números estão na razão de 2 para 3. Acrescentando-se 2 a cada um, as somas estão na razão de 3 para 5. Então, o produto dos dois números é:
a) 90
b) 96
c) 180
d) 72
e) -124
RESPOSTA: B
06. (PUC) Se (2; 3; x; ...) e (8; y; 4; ...) forem duas sucessões de números diretamente proporcionais, então:
a) x = 1 e y = 6
b) x = 2 e y = 12
c) x = 1 e y = 12
d) x = 4 e y = 2
e) x = 8 e y = 12
RESPOSTA: C
07. Sabe-se que y é diretamente proporcional a x e que y = 10 quando x = 5. De acordo com estes dados, qual:
a) a sentença que relaciona y com x?
b) o gráfico da função f: [-2; 3] ® ℝ definida pela sentença anterior?
c) o valor de y quando x = 2?
RESOLUÇÃO: a) y = 2x
c) y = 4
08. (FUVEST) São dados três números reais, a < b < c. Sabe-se que o maior deles é a soma dos outros dois e o menor é um quarto do maior. Então a, b e c são, respectivamente, proporcionais a:
a) 1, 2 e 3
b) 1, 2 e 5
c) 1, 3 e 4
d) 1, 3 e 6
e) 1, 5 e 12
RESPOSTA: C
09. (MACK) Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte é:
a) 35
b) 49
c) 56
d) 42
e) 28
RESPOSTA: B
10. (UFLA) Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, cada sócio receberá, respectivamente:
a) R$ 5.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 25.000,00
b) R$ 7.000,00; R$ 11.000,00 e R$ 22.000,00
c) R$ 8.000,00; R$ 12.000,00 e R$ 20.000,00
d) R$ 10.000,00; R$ 10.000,00 e R$ 20.000,00
e) R$ 12.000,00; R$ 13.000,00 e R$ 15.000,00
RESPOSTA: C
Regra de Três - Exercícios resolvidos
01. Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será:
a) 0,685m
b) 1,35m
c) 2,1m
d) 6,85
e) 18m
RESPOSTA: C
02. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m2 em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m2?
a) 7 horas
b) 5 horas
c) 9 horas
d) 4 horas
e) 6h e 30min
RESPOSTA: A
03. Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 soldados chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido?
RESOLUÇÃO: 15 dias
04. Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a mais do que a segunda?
RESOLUÇÃO: 60m e 48m
05. De duas fontes, a primeira jorra 18l por hora e a segunda 80l. Qual é o tempo necessário para a segunda
jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos?
RESOLUÇÃO: 5min 37,5seg
06. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 000 impressões. Em
quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, produzirão 100 000 impressões?
a) 20
b) 15
c) 12
d) 10
e) 5
RESPOSTA: E
07. (PUCCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de:
a) 100
b) 200
c) 400
d) 500
e) 800
RESPOSTA: C
08. Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60cm de largura. Qual será o comprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma largura de 0,90m?
RESOLUÇÃO: 2 000m
09. Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, durante 30 dias. Se os bares fossem 20 e se cada um deles recebesse 15 litros, durante quantos dias a destilaria poderia abastecê-los?
RESOLUÇÃO: 42 dias
10. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas?
a) 3
b) 2
c) 4
d) 6
e) 5
RESPOSTA: E
Extraido de coladaweb
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