Matemática

Fractais

Caros leitores,

Nos próximos posts escreveremos sobre os fractais. Com a morte de Mandelbrot resolvemos conhecê-los melhor e achamos esse tema muito interessante, por isso resolvemos compartilhar com vocês. Nesse primeiro, está relatada a cronologia desta incrível geometria. Esperamos que gostem.

"A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também

uma forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo diferentemente"

- Benoît Mandelbrot

Cronologia

Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis.

Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples (cubos, esferas, prismas).

Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão. No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).

Século XII

Newton e Leibniz criaram o cálculo, com as suas técnicas de "diferenciação" em termos geométricos, para assim poderem encontrar a tangente e a curva em qualquer ponto dado. No entanto, algumas funções eram descontínuas e, não tinham tangentes nem pontos isolados.

1870

Weierstrass descreveu uma função que era contínua, mas não era diferenciável, isto é, em nenhum ponto se podia descrever uma tangente à curva.
Quase simultaneamente, Cantor criou um método simples de transformar uma linha numa poeira de pontos, que apesar de não passar de pontos isolados no intervalo [ 0, 1 ], tem mais pontos do que os números racionais, ou seja, tem uma quantidade não numerável de pontos.
Peano, por seu lado, gerou pela primeira vez uma curva ondulada, que tocava em cada ponto do plano.

Todas estas formas pareciam sair das categorias usuais de linhas unidimensionais, bidimensionais e planos tridimensionais, daí o fato pelo o qual a maioria ser vista como "casos patológicos".

1880

Poincaré ao analisar a estabilidade do sistema solar, desenvolveu um método qualitativo no qual cada ponto representava uma diferente órbita planetária, criando, o que hoje podemos chamar topologia.

Revelou ainda que enquanto muitos movimentos iniciais velozmente caíam em curvas familiares, algumas eram deveras estranhas, "caóticas", cujas órbitas nunca se tornavam periódicas e previsíveis.

1935

O ponto de partida para um matemático bastante célebre, Benoît Mandelbrot foi precisamente a questão da dimensão, que tinha "escapado" a Euclides.

Mandelbrot descreveu matematicamente a ideia original de Euclides, acrescentando a essa ideia a questão da dimensão,e foi deste modo que surgiu a geometria dos fractais.

Num tempo em que o treino matemático francês era fortemente analítico, Benoît Mandelbrot visualizava os problemas sempre que possível, de forma a também os poder resolver em termos geométricos.

1958

Mandelbrot juntou-se à IBM e iniciou uma análise matemática do ruído electrônico começando a perceber a estrutura presente nele: as hierarquias de flutuações de todos os tipos que não podiam ser descritas pelos métodos estatísticos existentes. Assim, à medida que os anos foram decorrendo, diversos problemas que não pareciam relacionados, foram se unindo cada vez mais, dando origem ao nome: Geometria Fractal.

Anos mais tarde

Outros investigadores, ao tentar compreender a flutuação, como por exemplo o ruído; séries de preços em economia; ou o percurso de partículas no movimento browniano de fluídos, puderam comprovar que os modelos tradicionais não correspondiam aos dados. Embora, estas pesquisas parecessem sem relação, estavam a convergir para um objetivo comum.

Embora não aparentem, os fractais podem ser encontrados em todo o universo natural e em toda a ciência, desde o aspecto das nuvens, montanhas, árvores e relâmpagos, até à distribuição das galáxias e à economia de stocks e mercados.

Assim, o impacto dos fractais e da geometria fractal é bem evidente, quer na engenharia, nas comunicações telefônicas, na química, na metalúrgica, na arte, na matemática e até no estudo de doenças crônicas e em outros campos da medicina. Por exemplo, na década passada, alguns estudos revelaram que um coração saudável bate a um ritmo fractal e, que um batimento cardíaco quase periódico, é um sintoma de insuficiência cardíaca.

Texto retirado de O Mundo dos Fractais

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