Função quadratica

Chamamos de função quadrática, a famosa função do segundo grau. Ela é uma função polinomial da forma:

f(x) = ax² + bx + c

Quando igualada a função a zero, o resultado é uma equação quadrática.

ax² + bx + c = 0

As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função (a parábola) com o eixo x.

Quanto as raizes:

O número das raizes depende do $\Delta = b^2 - 4 a c\,$ (delta), observe:

Se $\Delta > 0\, \!$ , teremos duas raizes distintas.
Se $\Delta = 0\, \!$ , teremos apenas uma raiz (diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
Se $\Delta < 0\, \!$ , não teremos raiz

Agora que você já sabe o delta podemos prosseguir para encontrar nossas raizes. Temos então ax²+bx+c= 0 onde $a \ne 0 \,\!$ , o proximo passo é saber como usar a fórmula de Bhaskara:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.$

Quanto as raizes existe outro meio de acha-las além da formula de bhaskara, por Soma e Produto (x² – Sx + P = 0). Observe:

Soma: - b/a Produto: c/a

exemplo: x² + 9x + 14 = 0 (resolvendo por soma e produto)

S: -b/a = -9/1 = -9 P: c/a = 14/1 = 14
Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2 S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14

Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

Quanto ao grafico (Parábola):

Para podermos construir a nossa parábola devemos saber para onde sua concavidade esta voltada.

Se a > 0 sua concavidade é voltada pra cima
Se a < 0 sua concavidade é voltada pra baixo

Vertice: O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:

$(X vertice= -\frac{b}{2a}, Y vertice= -\frac {\Delta}{4a})$

Estudo de sinais: Consideramos uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos. Temos que considerar 3 casos, veja:

1º Caso: $\Delta > 0\, \!$

Nesse caso a função quadrática admite duas raizes reais distintos (x1

x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é o indicado nos gráficos.