Matemática

Funções Trigonométricas

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Introdução

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos triângulos". Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios , que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astronomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. No século VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o "tratado dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discipulo de Purback. Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.

Função seno

Definição

Chamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R® R, f(x) = sen x

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:

Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.

Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .

Sinal da Função:

Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:

f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
- f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

Função cosseno

Definição

Chamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o cosseno desse número: f: R® R, f(x) = cos x.

O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:

Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.

Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .

Sinal da Função:

Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:

f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)
- f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)

Função tangente

Definição

Chamamos de função tangente a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x) = tg x.

O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x varia de 0(zero) até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia de -¥ (menos infinito) até 0(zero)

Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý .

Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.

Sinal da Função:

Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:

f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)
f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)

Função secante

Definição

Denomina-se função secante a função f(x) = 1/cos x, definida para todo xÎ R diferente de ½p + kp , onde kÎ Z.

Sinal da função

Como a função secante é a inversa da função cosseno, então os sinais da função secante são os mesmos da função cosseno.

Função cossecante

Definição

Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.

Sinal da função

Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

Função cotangente

Definição

Denomina-se função cossecante a função f(x) = 1/sen x, definida para todo xÎ R diferente de kp , onde kÎ Z.

Sinal da função

Como a função cossecante é a inversa da função seno, então os sinais da função cossecante são os mesmos da função seno.

Anexos

A função seno

Observe que esse gráfico é razoável.

Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor de sen x cresce de 0 a 1.
Quando , 2º quadrante, o valor de sen x decresce de 1 a 0.
Quando , 3º quadrante, o valor de sen x decresce de 0 a -1.
Quando , 4º quadrante, o valor de sen x cresce de -1 a 0.]

A função cosseno

Observe que esse gráfico é razoável.

Pois:

Quando , 1º quadrante, o valor do cos x decresce de 1 a 0.
Quando , 2º quadrante, o valor do cos x decresce de 0 a -1.
Quando , 3º quadrante, o valor do cos x cresce de -1 a 0.
Quando , 4º quadrante, o valor do cos x cresce de 0 a 1.

A função tangente

Observe que esse gráfico é razoável. De fato:

Em primeiro lugar

ou seja, quando

, 1º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.

Em segundo lugar,

ou seja, quando

, 2º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.

Em terceiro lugar,

ou seja, quando,

3º Quadrante, o valor da tg x cresce de 0 a ¥.

Finalmente,

ou seja, quando ,

4º Quadrante, o valor da tg x cresce de -¥ a 0.

Função secante

Temos:

Definição:

Logo, o domínio da função secante é

Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada

, sec x é a medida algébrica do segmento OS ou do segmento OT.

Da figura, observamos também que, para todo

, onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função sec é periódica, de período 2p.

A fim de esboçar o gráfico de y=sec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:

e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x aumenta, y aumenta;
e, nesse intervalo, a função é estritamente crescente, ou seja, conforme x aumenta, y aumenta;
e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;
e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui.

Observemos que as retas verticais de equação

, para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.

A função y=sec x tem como imagem o intervalo

. Ela é uma função não limitada e periódica, de período 2p

função cossecante

Temos:

Definição:

Logo, o domínio da função cossecante é

Também, a partir da circunferência trigonométrica, já sabemos que, na figura abaixo, para cada

, cossec x é a medida algébrica do segmento OU ou do segmento OC.

Da figura, observamos também que, qualquer que seja

, onde k é um número inteiro qualquer. Assim a função cos sec é periódica, de período 2p.

A fim de esboçar o gráfico de y=cossec x, façamos a análise de como é a variação de y conforme x varia:

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;

e, nesse intervalo, a função é estritamente decrescente, ou seja, conforme x aumenta, y diminui;

Observemos que as retas verticais de equação

, para k inteiro, não nulo, são assíntotas ao gráfico da função.
A função y=cotg x tem como imagem o intervalo

. Ela é uma função não limitada e periódica.

Conclusão

Ramo da matemática que trata das relações entre os lados e ângulos de triângulos (polígonos com três lados). A trigonometria plana lida com figuras geométricas pertencentes a um único plano, e a trigonometria esférica trata dos triângulos que são uma seção da superfície de uma esfera.

A trigonometria começa como uma matemática eminentemente prática para determinar distâncias que não podiam ser medidas diretamente. Serve à navegação, à agrimensura e à astronomia. Ao lidar com a determinação de pontos e distâncias em três dimensões, a trigonometria esférica amplia sua aplicação à física, à química e a quase todos os ramos da engenharia, em especial no estudo de fenômenos periódicos, como a vibração do som e o fluxo de corrente alternada.

Bibliografia

Paiva, Manoel, Matemática, Volume único, Ed. Moderna, 2003

Barreto Filho, Benigno e Silva, Cláudio Xavier da, Matemática aula por aula, Volume único, FTD, 200.

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