Matemática
A lógica como ciência remonta a Aristóteles $(384-322a.C.)$, seu criador. No século $XVII$ Descartes $(1596-1650)$ e Leibniz $(1646-1716)$ tencionaram dotá-la de padrões matemáticos, o que pressupões uma simbologia e um cálculo formal próprios. O alcance dessa lógica seria universal, aplicável a todos os campos do conhecimento. Mas nenhum dos dois deixou sobre o assunto senão alguns escritos fragmentados. Inclusive a contribuição de Leibniz, embora específica, somente em $1901$ se tornou conhecida.
Assim é que o marco inicial da lógica simbólica, embora Leibniz seja considerado seu fundador, está fincado no ano de $1847$ com a publicação das obras Mathematical analysis of logic de George Boole $(1815-1864)$ e Formal logic de Augustus De Morgan $(1806-1871)$.
De família modesta, Boole nasceu em Linciln, na Inglaterra. Sua instrução formal não passou dos graus básicos mas, dotado de grande inteligência, e vendo no conhecimento o caminho de seu gosto para ascender socialmente, enveredou pelo autodidatismo. De início aprendeu por si só latim e grego. Depois, como professor de uma escola elementar, resolveu ampliar seus conhecimentos de matemática, pondo-se a estudar, entre outras, as obras clássicas de Laplace e Lagrange.
O interesse pela lógica certamente derivou de seu relacionamento com De Morgan, de quem ficara amigo. Sua obra citada, embora não lhe trouxesse grande fama, propiciou-lhe, dois anos depois de publicada, uma nomeação de professor no recém criado Queens Collegem em Cork, Irlanda.
Em $1854$ Boole lança sua obra-prima, Investigation of the laws of thought (As leis do pensamento - como usualmente é conhecida), na qual elucida e amplia as ideias de $1847$. A finalidade era ainda expressar simbolicamente as leis do pensamento, visando poder usar de maneira mais direta e precisa a dedução lógica.
Boole procurava transformar certos processos elementares do raciocínio em axiomas da lógica. A chamada álgebra dos conjuntos ou álgebra de Boole, introduzida por ele em As leis do pensamento, dá bem uma ideia disso. Boole usava as letras $x,y,z,\cdots$ para indicar partes (subconjuntos) de um conjunto tomado como universo. Se $x$ e $y$ denotavam duas dessas partes, o que hoje chamamos de intersecção e união, Boole indicava por $xy$ e $x+y$, respectivamente. Os símbolos atuais $\cap$ e $\cup$ são devidos a Giuseppe Peano $(1858-1932)$. Na verdade, as uniões consideradas por Boole pressupunham partes disjuntas; a generalização, para o conceito atual, é devida a W.S. Jevons $(1835-1882)$.
Assim, sendo óbvio para o espírito que: $xy=yx$ e $x+y=y+x$, $(xy)z=x(yz)$ e $x+(y+z)=(x+y)+z$ e $x(y+z)=xy+xz$, essas leis foram tomadas como axiomas de sua álgebra. Até aí não há diferença entre as álgebras usuais e a de Boole, sob o aspecto estrutural. Mas nesta última há leis particulares como $x^2=xx=x$ e $x+x=x$. Ou ainda, simbolizando por $1$ o conjunto universo (notação de Boole): $1+1=1$.
Um exemplo menos imediato envolve a lei do terceiro excluído. Por exemplo, se $1$ indica o conjunto de todos os seres vivos e $x$ o conjunto dos gatos, como $1-x$ era para Boole o complemento de $x$, então $x+(1-x)=1$ traduz a lei referida: todo ser vivo ou é gato ou não é gato.
Não passou despercebida por Boole a semelhança entre a álgebra dos conjuntos e a das proposições. Assim é que para duas proposições $p$ e $q$ indicava por $pq$ a conjunção $"p$ e $q"$ e por $p+q$ a disjunção $"p$ ou $q"$. A afirmação $x=1$ significa, nesse contexto, que $x$ é verdadeira e $x=0$ que $x$ é falsa. Mas Boole não foi longe com esse assunto.
Porém já tinha feito o bastante para ser considerado pelo grande matemático e filósofo galês deste século, Bertrand Russel, como o descobridos da matemática pura.
Bertrand Russel e o logicismo
Matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento dos computadores
- Os Axiomas De Peano
Esta postagem (cuja intenção é enunciar os Axiomas de Peano) dá início a uma série que tem o objetivo de tratar sobre alguns aspectos dos números naturais. Notemos, inicialmente, que a utilidade dos Axiomas de Peano não é definir, mas...
- Lógica
► Lógica Lógica, ciência que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argumentação. Seu estudo é um esforço no sentido de determinar as condições que permitem tirar de determinadas proposições, chamadas de premissas, uma conclusão...
- Bertrand Russell E O Logicismo
A filosofia iniciou-se com Tales de Mileto (c. 585 a.C.), o primeiro matemático a ter seu nome gravado na história. A filosofia moderna tem como seu marco inicial O Discurso do Método (1636), do grande matemático francês René Descartes. Ainda no...
- A Aritmética De Peano
Em $1889$, o matemático Giuseppe Peano $(1858-1932)$ resumiu as características estruturais nos números naturais em uma lista de axiomas enunciados em lógica simbólica. Esta última era uma linguagem de primeira ordem (ou seja, uma linguagem na...
- Leibniz E As Diferenciais
“Eu vi um professor de Matemática, só porque foi grande em sua vocação, ser enterrado como um rei que tivesse feito o bem para seus súditos.” Foi assim que Voltaire se pronunciou após haver assistido aos funerais de Newton. De fato, o respeito...
Matemática
George Boole e a Álgebra do Pensamento
A lógica como ciência remonta a Aristóteles $(384-322a.C.)$, seu criador. No século $XVII$ Descartes $(1596-1650)$ e Leibniz $(1646-1716)$ tencionaram dotá-la de padrões matemáticos, o que pressupões uma simbologia e um cálculo formal próprios. O alcance dessa lógica seria universal, aplicável a todos os campos do conhecimento. Mas nenhum dos dois deixou sobre o assunto senão alguns escritos fragmentados. Inclusive a contribuição de Leibniz, embora específica, somente em $1901$ se tornou conhecida.
Assim é que o marco inicial da lógica simbólica, embora Leibniz seja considerado seu fundador, está fincado no ano de $1847$ com a publicação das obras Mathematical analysis of logic de George Boole $(1815-1864)$ e Formal logic de Augustus De Morgan $(1806-1871)$.
De família modesta, Boole nasceu em Linciln, na Inglaterra. Sua instrução formal não passou dos graus básicos mas, dotado de grande inteligência, e vendo no conhecimento o caminho de seu gosto para ascender socialmente, enveredou pelo autodidatismo. De início aprendeu por si só latim e grego. Depois, como professor de uma escola elementar, resolveu ampliar seus conhecimentos de matemática, pondo-se a estudar, entre outras, as obras clássicas de Laplace e Lagrange.
O interesse pela lógica certamente derivou de seu relacionamento com De Morgan, de quem ficara amigo. Sua obra citada, embora não lhe trouxesse grande fama, propiciou-lhe, dois anos depois de publicada, uma nomeação de professor no recém criado Queens Collegem em Cork, Irlanda.
Em $1854$ Boole lança sua obra-prima, Investigation of the laws of thought (As leis do pensamento - como usualmente é conhecida), na qual elucida e amplia as ideias de $1847$. A finalidade era ainda expressar simbolicamente as leis do pensamento, visando poder usar de maneira mais direta e precisa a dedução lógica.
Boole procurava transformar certos processos elementares do raciocínio em axiomas da lógica. A chamada álgebra dos conjuntos ou álgebra de Boole, introduzida por ele em As leis do pensamento, dá bem uma ideia disso. Boole usava as letras $x,y,z,\cdots$ para indicar partes (subconjuntos) de um conjunto tomado como universo. Se $x$ e $y$ denotavam duas dessas partes, o que hoje chamamos de intersecção e união, Boole indicava por $xy$ e $x+y$, respectivamente. Os símbolos atuais $\cap$ e $\cup$ são devidos a Giuseppe Peano $(1858-1932)$. Na verdade, as uniões consideradas por Boole pressupunham partes disjuntas; a generalização, para o conceito atual, é devida a W.S. Jevons $(1835-1882)$.
Assim, sendo óbvio para o espírito que: $xy=yx$ e $x+y=y+x$, $(xy)z=x(yz)$ e $x+(y+z)=(x+y)+z$ e $x(y+z)=xy+xz$, essas leis foram tomadas como axiomas de sua álgebra. Até aí não há diferença entre as álgebras usuais e a de Boole, sob o aspecto estrutural. Mas nesta última há leis particulares como $x^2=xx=x$ e $x+x=x$. Ou ainda, simbolizando por $1$ o conjunto universo (notação de Boole): $1+1=1$.
Um exemplo menos imediato envolve a lei do terceiro excluído. Por exemplo, se $1$ indica o conjunto de todos os seres vivos e $x$ o conjunto dos gatos, como $1-x$ era para Boole o complemento de $x$, então $x+(1-x)=1$ traduz a lei referida: todo ser vivo ou é gato ou não é gato.
Não passou despercebida por Boole a semelhança entre a álgebra dos conjuntos e a das proposições. Assim é que para duas proposições $p$ e $q$ indicava por $pq$ a conjunção $"p$ e $q"$ e por $p+q$ a disjunção $"p$ ou $q"$. A afirmação $x=1$ significa, nesse contexto, que $x$ é verdadeira e $x=0$ que $x$ é falsa. Mas Boole não foi longe com esse assunto.
Porém já tinha feito o bastante para ser considerado pelo grande matemático e filósofo galês deste século, Bertrand Russel, como o descobridos da matemática pura.
Texto de:Hygino H. Domingues
Referências:
[1] Fundamentos de Matemática Elementar V1 - Conjuntos e FunçõesVeja mais:
A aritmética de PeanoBertrand Russel e o logicismo
Matemáticos que contribuíram para o desenvolvimento dos computadores
- Os Axiomas De Peano
Esta postagem (cuja intenção é enunciar os Axiomas de Peano) dá início a uma série que tem o objetivo de tratar sobre alguns aspectos dos números naturais. Notemos, inicialmente, que a utilidade dos Axiomas de Peano não é definir, mas...
- Lógica
► Lógica Lógica, ciência que trata dos princípios válidos do raciocínio e da argumentação. Seu estudo é um esforço no sentido de determinar as condições que permitem tirar de determinadas proposições, chamadas de premissas, uma conclusão...
- Bertrand Russell E O Logicismo
A filosofia iniciou-se com Tales de Mileto (c. 585 a.C.), o primeiro matemático a ter seu nome gravado na história. A filosofia moderna tem como seu marco inicial O Discurso do Método (1636), do grande matemático francês René Descartes. Ainda no...
- A Aritmética De Peano
Em $1889$, o matemático Giuseppe Peano $(1858-1932)$ resumiu as características estruturais nos números naturais em uma lista de axiomas enunciados em lógica simbólica. Esta última era uma linguagem de primeira ordem (ou seja, uma linguagem na...
- Leibniz E As Diferenciais
“Eu vi um professor de Matemática, só porque foi grande em sua vocação, ser enterrado como um rei que tivesse feito o bem para seus súditos.” Foi assim que Voltaire se pronunciou após haver assistido aos funerais de Newton. De fato, o respeito...