Matemática

Grupos e Aplicações (Parte 1)

Neste post inaugural iremos tratar de um assunto muito importante em matemática: Grupos. Para alguns um assunto sem muitas aplicações, porém iremos ver mais adiante em postagens futuras que a Teoria dos Grupos pode se tornar uma ferramenta muita com aplicações em Física e Química, e uma importante contribuição para solucionar o cubo de Rubik, iremos ver algo sobre isso futuramente.

Mas, o que é um grupo?

Iremos responder essa pergunta mais adiante:

Um grupo é um conjunto [;G;]

com a operação binária [;*;]

possuindo as seguintes propriedades:

A operação é fechada, ou seja, se $[;g,h\in G;]$ então $[;g*h\in G;]$ ;
A operação é associativa, ou seja, se $[;f,g,h\in G;]$ então ;
Existe o elemento identidade $[;e\in G;]$ , ou seja, para todo $[;g\in G;]$ , temos ;
Todo elemento tem inverso, ou seja, se $[;g\in G;]$ então existe $[;g^{-1}\in G;]$ tal que $[;g*g^{-1}=g^{-1}*g=e;]$ .

Essas propriedades acima definem grupo.

Exemplos de Grupos:

     O conjunto dos inteiros $[;\mathbb{Z};]$ com a operação de adição;
     Os conjuntos dos racionais $[;\mathbb{Q};]$ , reais $[;\mathbb{R};]$ e complexos $[;\mathbb{C};]$ com adição são grupos também;
    O conjunto dos naturais $[;\mathbb{N};]$ com adição não é grupo, pois apesar de ter indentidade [;(0);]

, nenhum dos seus elementos positivos tem inverso.

Os grupos acima são infinitos e comutativos, ou seja dados [;a;]

no grupo temos que [;a*b=b*a;]

.
Em geral os grupos não são comutativos.

Notação: [;g*h=gh;]

, definimos também [;g^2=g*g;]

e $[;g^{-n}=(g^n)^{-1};]$ .

Proposição 1: O elemento identidade é único.
Demonstração: De fato, se [;e';]

fosse outro elemento identidade teríamos que
[;$$ee'=e$$;]

Mas também
[;$$e'e=e'$$;]

Logo,

Portanto, o elemento identidade é único

Proposição 2: O elemento inverso é único.
Demonstração: Semelhantemente à demonstração anterior, se [;h;]

fosse outro inverso de [;g;]

, então

.
Porém, $[;gg^{-1}=e;]$ , portanto,
$[;h=he=h(gg^{-1})=(hg)g^{-1}=eg^{-1}=g^{-1};]$

Assim, cada elemento do grupo possui um único inverso.

Observação 1: De acordo com a proposição acima, em um grupo [;G;]

, a equação [;gx=e;]

possui uma única solução: $[;x=g^{-1};]$ .
Observação 2: De um modo mais abrangente, dados quaisquer $[;g,h\in G;]$ , existe uma única solução $[;x\in G;]$ para a equação [;gx=h;]

, obviamente, $[;x=g^{-1}h;]$

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