Matemática

Lei de Benford

Abordaremos neste post um fato muito interessante: A Lei de Benford. Mas o que é exatamente a lei de Benford?

Bem, a Lei de Benford, também conhecida como a "Lei dos Primeiros Dígitos", é uma ferramenta muito poderosa e muito simples que aponta suspeitas de fraudes, fraudadores, sonegação de impostos, contabilístas mediócres e erros de digitação.

Aqui vai uma questão de probabilidade:

"Dado uma amostra de números aleatórios de uma fonte de dados qualquer, qual a probabilidade do primeiro dígito ser 1? E de ser 5? E 9?"

Ora, logicamente pensaríamos que todos os dígitos (de [;1;]

) possuem a mesma probabilidade de aparição ( [;P_n=1/9;]

), ou seja, 11,11% para cada. Saiba que no "mundo real" a probabilidade da aparição de cada número ocupando o primeiro dígito difere!

Em nosso caso seja [;P_n;]

a probabilidade de aparição do número [;n;]

, $[;n\in\left{1,\ldots,9\right};]$ , temos:

, ou seja, 30,10%

, ou seja, 7,92%

, ou seja, 4,58%

Em 1881, um matemático e astrônomo americano, Simon Newcomb, percebeu que as primeiras páginas dos livros de logaritmos das bibliotecas estavam mais gastas que o resto, intrigado com isso ele investigou o assunto mais profundamente e percebeu que em amostras aleatórias de dados reais os números de 1 à 9 no primeiro dígito de um número não obedeciam a distribuição mais intuitiva, de 1/9, porém os números menores apareciam com maior frequencia, o dígito 1 aparece quase 1/3 das vezes.

Newcomb publicou no mesmo ano um breve artigo no jornal americano de matemática, neste artigo ele especulava a probabilidade de um número [;d;]

aparecer como o primeiro dígito seria de $[;log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right);]$ , ele intitulou este artigo como "Note on the frequency of use of the different digits in natural numbers".

Mais tarde, em 1938, o físico Frank Benford após uma investigação mais profunda chegou a mesma conclusão que Newcomb, indo mais além aplicando a fórmula em uma variedade de números para detectar o fenômeno da ocorrência de dígitos. Em 1995, Theodore P. Hill publicou uma demonstração matemática rigorosa e nela mostrou que os números da sequência de Fibonacci obedecem rigorosamente à lei.

Enunciamos agora esta lei:

"Dizemos que um conjunto satisfaz à Lei de Benford se o dígito inicial

( $[;d\in\left{1,\ldots,9\right};]$ ) ocorre com a seguinte probabilidade:

$[;P(d)=log_{10}(d+1)-log_{10}(d)=log_{10}\left(1+\frac{1}{d}\right);]$

A tabela abaixo mostra o cálculo dessas probabilidades para esses números:

Aplicações:

1. Sucessão das potências de 2

Consideremos a sucessão das potências de 2, $[;\left(2,2^2,2^3,\ldots\right);]$ , e tomemos os primeiros dígitos dessas potências, vemos que obedecem à lei de benford. Para verificar isso, tomemos uma amostra dessa sucessão, suponha os números de [;2;]

até $[;2^{100};]$ , vejamos as que começão com o dígito [;1;]

$[;2^{10}=1024;]$

$[;2^{14}=16384;]$

$[;2^{17}=131072;]$

$[;2^{20}=1048576;]$

$[;\vdots;]$ $[;\vdots;]$

$[;2^{100}=1267650600228229401496703205376;]$

Um fato interessante é que as potência obedecem à uma P.A. de razão aternando na sequencia $[;3,3,4,3,3,4,3,3,4,\ldots;]$ , ou seja, temos [;32;]

potências que começão com o algarismo [;1;]

, isso dá 32% dos casos, veja como esse valor se aproxima da lei, se continuássemos esse processo veríamos que esse valor se aproximaria de 30,1%.

2. Sequência de Fibonacci

Os primeiros dígitos da sequência de Fibonacci (1,1,2,3,5,8,13,...)também obedecem à lei de benford.

No caso dos 100 primeiros números da sequência temos:

DÍGITO OCORRÊNCIA PROBABILIDADE

1 30 30 %

2 18 18 %

3 13 13 %

4 9 9 %

5 8 8 %

6 6 6 %

7 5 5 %

8 7 7 %

9 4 4 %

No caso da sequência com os 10.000 primeiros elementos:

DÍGITO OCORRÊNCIA PROBABILIDADE

1 301 30,1 %

2 177 17,7 %

3 125 12,5 %

4 96 9,6 %

5 80 8,0 %

6 67 6,7 %

7 56 5,6 %

8 53 5,3 %

9 45 4,5 %

Note que os valores se aproximam dos valores da lei.

3. CONTABILIDADE: AUDITORIA FISCAL

Uma importante aplicação da Lei de Benford (porque não dizer a principal) é na Auditoria Fiscal, esse ramo da contabilidade examina se existem fraudes nas contas de empresas, bancos, instituições, e se utilizam da lei de Benford para checar se os dados são verídicos ou se foram inventados. Foi Mark Nigrini da Universidade do Sul de Methodist que abriu caminho para a aplicação da Lei de Benford à sonegação de imposto e a detecção de fraudes. Nos EUA, evidências baseadas na Lei de Benford é legalmente admissível em casos criminais de níveis federais, estatais e locais.

4. ELEIÇÕES: IRÃ

A Lei de Benford foi invocada como evidência de fraude nas eleições iranianas de 2009 para presidente, deste modo a lei de Benford pode ser usada para detectar fraudes eleitorais.

Generalização da Lei de Benford

A lei de Benford pode ser generalizada para encontrar a probabilidade de encontrarmos uma sequencia de dígitos iniciais. Em particular, a probabilidade de encontrarmos um número iniciando com uma sequencia de números [;n;]

é dada por:

$[;log_{10}(n+1)-log_{10}(n)=log_{10}\left(1+\frac{1}{n}\right);]$

Por exemplo, a probabilidade de que um número se inicie com os dígitos 3,1 e 4 é $[;log_{10}(1+1/314)\approx 0,0014;]$ )

Podemos calcular a ocorrência de um certo dígito sem ser a primeira posição. Por exemplo, a probabilidade que o algarismo 2 seja encontrado como segundo dígito é $[;log_{10}\left(1+\frac{1}{12}\right)+log_{10}\left(1+\frac{1}{22}\right)+\cdots +log_{10}\left(1+\frac{1}{92}\right) \approx 0,109;]$

Generalizando, a probabilidade que $[;d\quad (d=1,2,\ldots,9);]$ seja encontrado como o [;n;]

-ésimo

dígito é:

$[;\sum_{k=10^{n-2}}^{10^{n-1}-1}log_{10}\left(1+\frac{1}{10k+d}\right);]$

Na prática, a aplicação da Lei de Benford à detecções de fraudes geralmente usam mais do que o primeiro dígito.

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