Matemática

Números de Zeros Finais de n Fatorial, n!

Autor: Profº Americo Tavares - http://problemasteoremas.wordpress.com/ (Grifo meu)

O número de zeros finais de $n!$ é igual ao expoente de $5$ da factorização em números primos de $n!$ , o qual é um caso particular da Fórmula de Polignac $^{1,2}$ geral, sendo dado por:

$e_{5}(n!)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor\log n/\log 5\right\rfloor }\left\lfloor\dfrac{n}{5^{i}}\right\rfloor\qquad (1)$

Pela mesma fórmula o exponente de $2$ desa factorização é:

$e_{2}(n!)=\displaystyle\sum_{i=1}^{\left\lfloor\log n/\log 2\right\rfloor }\left\lfloor\dfrac{n}{2^{i}}\right\rfloor\qquad (2)$

Para todo o $n$ existe um $m$ tal que $n!=2^{e_2(n!)}\cdot 5^{e_5(n!)}m=(2^{e_2(n!)-e_5(n!)}m)10^{e_5(n!)}$ , o que conjuntamente com a demonstração apresentada na nota $2$ mostra a validade de $(1),(2)$ .

Exemplo: $n=50$ . O expoente de $2$ da factorização em primos de $50!$ é igual a:

$\begin{aligned}e_2(50!)=\displaystyle\sum_{i\geq 1}\left\lfloor \dfrac{50}{2^{i}}\right\rfloor &=\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor \dfrac{50}{2^{2}} \right\rfloor +\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{3}}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{4}}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{2^{5}}\right\rfloor\\&=25+12+6+3+1\\&=47,\end{aligned}$

enquanto que o exponente de $5$ é igual a:

$\displaystyle e_5(50!)=\displaystyle\sum_{i\geq 1}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{5^{i}}\right\rfloor=\displaystyle\left\lfloor\dfrac{50}{5}\right\rfloor+\displaystyle\left\lfloor \dfrac{50}{5^{2}}\right\rfloor =10+2=12.$

Assim, o número de zeros finais de $50!=2^{47}5^{12}m=(2^{35}m)10^{12}$ é igual a $12$ .

?
$^1$ Este teorema também é conhecido pelo nome de teorema de Legendre.

$^2$ Para todo o inteiro $n$ o expoente do primo $p$ da factorização em primos de $n!$ é igual a:

$\displaystyle\sum_{i= 1}^{\left\lfloor\log n/\log p\right\rfloor}\displaystyle\left\lfloor\dfrac{n}{p^{i}}\right\rfloor.\qquad (0)$

Este expoente obtém-se adicionando aos números entre $1$ e $n$ que são dvisíveis por $p$ o número dos que são divisíveis por $p^{2}$ , depois os que são de $p^{3}$ , e assim sucessivamente. Este processo termina na maior potência de $p^{i}\leq n$ .

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