CANJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS RELATIVOS
Chama-se número racional todo o número que pode ser escrito em forma de fração,
São exemplos de números racionais;
“ Os números fracionários positivos;
+ 5/7, +1/3, +7/2, +9/4
“Os números fracionários negativos;
-5/7, -1/3, -7/2, --9/4
É concluir que todo número inteiro é também racional,
Veja:
a) O número 8 pode ser escrito como 8/1, logo 8 também é um número racional.
b) O número inteiro (-8) pode ser escrito como -8/1, logo (-8) também é um número racional
c) O número inteiro 0 pode ser escrito como 0/1, logo 0 é também um número racional.
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q sendo formado pelos números inteiros e pelos números fracionários.
CONJUNTO Q
a) números inteiros positivos e negativos
b) número zero
c) números fracionários , positivos e negativos
CONVEM DESTACAR QUE:
1) O conjunto Q é infinito.
2) Os números racionais positivos podem ser escritos sem o sinal de +
Exemplo:
+3/7 escreve-se simplismente 3/7
3) Números opostos ou simétricos
Exemplos:
a) +3/8 e -3/8 são opostos
b) -1/2 e +1/2 são opostos
4) Regra de sinais
A indicação de uma divisão pode ser feita por meio de uma fração. Então, para saber o sinal do número racional, basta aplicar a regra de sinais da divisão.
Exemplos:
a) (-3) : (+5) = -3/+5 = -3/5
b) (-8) : (-7) = -8/-7 = +8/7 = 8/7
NÚMEROS DECIMAIS
Um número racional também pode ser representado por um número exato ou periódico.
Exemplos:
a) 7/2 = 3,5
b) -4/5 = -0,8
c) 1/3 = 0,333.......
d) 4/9 = 0,444......
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Observe que os números racionais podem ser representados por pontos de uma reta, usando-se o mesmo processo de representação dos inteiros.
_-3___/____-2___/____-1_______0__/_____1_____/__2_______3__
.....-5/2........-3/2...................1/5.............5/3
Os pontos que estão à direita do zero chamam-se positivos.
Os negativos estão à esquerda do zero
Dados dois números quaisquer, o que está à direita é maior deles, e o que está a esquerda, o menor deles.
Na figura vemos que :
a) 1/5 > -3/2
b) -5/2 < -3/2
Chama-se número racional todo o número que pode ser escrito em forma de fração,
São exemplos de números racionais;
“ Os números fracionários positivos;
+ 5/7, +1/3, +7/2, +9/4
“Os números fracionários negativos;
-5/7, -1/3, -7/2, --9/4
É concluir que todo número inteiro é também racional,
Veja:
a) O número 8 pode ser escrito como 8/1, logo 8 também é um número racional.
b) O número inteiro (-8) pode ser escrito como -8/1, logo (-8) também é um número racional
c) O número inteiro 0 pode ser escrito como 0/1, logo 0 é também um número racional.
O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q sendo formado pelos números inteiros e pelos números fracionários.
CONJUNTO Q
a) números inteiros positivos e negativos
b) número zero
c) números fracionários , positivos e negativos
CONVEM DESTACAR QUE:
1) O conjunto Q é infinito.
2) Os números racionais positivos podem ser escritos sem o sinal de +
Exemplo:
+3/7 escreve-se simplismente 3/7
3) Números opostos ou simétricos
Exemplos:
a) +3/8 e -3/8 são opostos
b) -1/2 e +1/2 são opostos
4) Regra de sinais
A indicação de uma divisão pode ser feita por meio de uma fração. Então, para saber o sinal do número racional, basta aplicar a regra de sinais da divisão.
Exemplos:
a) (-3) : (+5) = -3/+5 = -3/5
b) (-8) : (-7) = -8/-7 = +8/7 = 8/7
NÚMEROS DECIMAIS
Um número racional também pode ser representado por um número exato ou periódico.
Exemplos:
a) 7/2 = 3,5
b) -4/5 = -0,8
c) 1/3 = 0,333.......
d) 4/9 = 0,444......
REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Observe que os números racionais podem ser representados por pontos de uma reta, usando-se o mesmo processo de representação dos inteiros.
_-3___/____-2___/____-1_______0__/_____1_____/__2_______3__
.....-5/2........-3/2...................1/5.............5/3
Os pontos que estão à direita do zero chamam-se positivos.
Os negativos estão à esquerda do zero
Dados dois números quaisquer, o que está à direita é maior deles, e o que está a esquerda, o menor deles.
Na figura vemos que :
a) 1/5 > -3/2
b) -5/2 < -3/2
EXERCÍCIOS
1) Aplique a regra de sinais para a divisão e dê o resultado
a) -5/+9 = -5/9
b) -2/-3 = 2/3
c) +3/+4 = ¾
d) -9/+5 = -9/5
e) +7/-5 = -7/5
f) -8/7 = -8/7
2) Escreva os números racionais na forma irredutiveil:
a) 10/4 = 5/2
b) -12/48 = -1/4
c) -7/35 = -1/5
d) 18/-36 = -1/2
e) -75/50 = -3/2
f) -25/100 = -1/4
g) 11/99 = 1/9
h) -4/128 = -1/32
3) Transforme as frações seguintes em números inteiros:
a) -12/6 = -2
b) -32/8 = -4
c) 20/10 = 2
d) -17/1 = -17
e) -54/18 = -3
f) -45/15 = -3
g) 132/11 = -12
4) Dê o valor de:
a) (5.(-6))/2 = (R: -15)
b) ((-9) . (-8)) / 2 = (R: 36)
c) (2 . (-6) . (-3)) /(9 . (-2)) = (R: -2 )
d) (2 . 0 . 5) / 30 = (R: 0)
e) (6 . (-2) . (-3)) / -9 = (R: -4)
f) (-7 . (-8)) / -14 = (R: -4)
g) (-3 – 7 – 9) /19 = (R: -1)
h) (6 . (-4) . (-5)) /( 3 . (-8)) = (R: -5)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q
Para as operações com números racionais relativos são validas as regras operatórias das frações e dos números inteiros relativos.
ADIÇÃO
Para adicionarmos números racionais relativos (na forma de fração) procedemos do seguinte modo:
1) Reduzimos (se necessário) as frações dadas ao mesmo denominador positivo.
2) Somamos os numeradores de acordo com a regra de sinais da adição de inteiros.
EXEMPLOS:
a) (-2/3) + (+1/2) = -2/3 + ½ = (-4 + 3) / 6 = -1/6
b) (+3/4) + (-1/2) = ¾ - ½ = (3-2)/ 4 = ¼
c) (-4/5) + (-1/2) = -4/5 -1/2 = (-8 -5) / 10 = -13/10
EXERCÍCIOS
1) Efetue as adições:
a) (+3/5) + (+1/2) = (R: 11/10)
b) (-2/3) + (+5/4) = (R: 7/12)
c) (-4/9) + (+2/3) = (R: 2/9)
d) (-3/7) + (+2/9) = (R: -13/63)
e) (-1/8) + (-7/8) = (R: -1)
f) (-1/3) + (-1/5) = (R: -8/15)
g) (-1/8) + (5/4) = (R: 9/8)
h) (+1/5) + ( +3/5) = (R: 4/5)
2) Efetue as adições:
a) (-2/5) + 3 = (R: 13/5)
b) (-1/6) + (+2) = (R: 11/6)
c) (-5/3) + (+1) = (R: -2/3)
d) (-4) + (-1/2) = (R: -9/2)
e) (-0,2) + (-1/5) = (R: -2/5)
f) (+0,4) + (+3/5) = (R: 1)
g) (-0,5) + (+0,7) = (R: 1/5 ou 0,2)
h) (-02) + (-1/2) = (R: -7/10)
3) Efetue as seguintes adições:
a) (+5/8) + (+1/2) + ( -2/15) = (R:119/120)
b) (+1/2) + (-1/3) + (+1/5) = (R:11/30)
c) (-1/2) + (-4/10) + (+1/5) = (R: -7/10)
d) (-3/5) + (+2) + (-1/3) = (R: 16/15)
b) -2/-3 = 2/3
c) +3/+4 = ¾
d) -9/+5 = -9/5
e) +7/-5 = -7/5
f) -8/7 = -8/7
2) Escreva os números racionais na forma irredutiveil:
a) 10/4 = 5/2
b) -12/48 = -1/4
c) -7/35 = -1/5
d) 18/-36 = -1/2
e) -75/50 = -3/2
f) -25/100 = -1/4
g) 11/99 = 1/9
h) -4/128 = -1/32
3) Transforme as frações seguintes em números inteiros:
a) -12/6 = -2
b) -32/8 = -4
c) 20/10 = 2
d) -17/1 = -17
e) -54/18 = -3
f) -45/15 = -3
g) 132/11 = -12
4) Dê o valor de:
a) (5.(-6))/2 = (R: -15)
b) ((-9) . (-8)) / 2 = (R: 36)
c) (2 . (-6) . (-3)) /(9 . (-2)) = (R: -2 )
d) (2 . 0 . 5) / 30 = (R: 0)
e) (6 . (-2) . (-3)) / -9 = (R: -4)
f) (-7 . (-8)) / -14 = (R: -4)
g) (-3 – 7 – 9) /19 = (R: -1)
h) (6 . (-4) . (-5)) /( 3 . (-8)) = (R: -5)
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q
Para as operações com números racionais relativos são validas as regras operatórias das frações e dos números inteiros relativos.
ADIÇÃO
Para adicionarmos números racionais relativos (na forma de fração) procedemos do seguinte modo:
1) Reduzimos (se necessário) as frações dadas ao mesmo denominador positivo.
2) Somamos os numeradores de acordo com a regra de sinais da adição de inteiros.
EXEMPLOS:
a) (-2/3) + (+1/2) = -2/3 + ½ = (-4 + 3) / 6 = -1/6
b) (+3/4) + (-1/2) = ¾ - ½ = (3-2)/ 4 = ¼
c) (-4/5) + (-1/2) = -4/5 -1/2 = (-8 -5) / 10 = -13/10
EXERCÍCIOS
1) Efetue as adições:
a) (+3/5) + (+1/2) = (R: 11/10)
b) (-2/3) + (+5/4) = (R: 7/12)
c) (-4/9) + (+2/3) = (R: 2/9)
d) (-3/7) + (+2/9) = (R: -13/63)
e) (-1/8) + (-7/8) = (R: -1)
f) (-1/3) + (-1/5) = (R: -8/15)
g) (-1/8) + (5/4) = (R: 9/8)
h) (+1/5) + ( +3/5) = (R: 4/5)
2) Efetue as adições:
a) (-2/5) + 3 = (R: 13/5)
b) (-1/6) + (+2) = (R: 11/6)
c) (-5/3) + (+1) = (R: -2/3)
d) (-4) + (-1/2) = (R: -9/2)
e) (-0,2) + (-1/5) = (R: -2/5)
f) (+0,4) + (+3/5) = (R: 1)
g) (-0,5) + (+0,7) = (R: 1/5 ou 0,2)
h) (-02) + (-1/2) = (R: -7/10)
3) Efetue as seguintes adições:
a) (+5/8) + (+1/2) + ( -2/15) = (R:119/120)
b) (+1/2) + (-1/3) + (+1/5) = (R:11/30)
c) (-1/2) + (-4/10) + (+1/5) = (R: -7/10)
d) (-3/5) + (+2) + (-1/3) = (R: 16/15)
SUBTRAÇÃO
Para encontrarmos a diferença entre dois números racionais, somamos o primeiro com o oposto do segundo
Exemplos
a) (+1/2) – (+1/4) = ½ -1/4 = 2/4 -1/4 = ¼
b) (-4/5) – (-1/2) = -4/5 + ½ = -8/10 + 5/10 = -3/10
Exercícios
1) Efetue as subtrações:
a) (+5/7) – (+2/3) = (R: 1/21)
b) (+2/3) – (+1/2) = (R: 1/6)
c) (+2/3) – (+4/5) = (R: -2/15)
d) (-7/8) – (-3/4) = (R: -1/8)
e) (-2/5) – (-1/4) = (R: -3/20)
f) (-1/2) – (+5/8) = (R: -9/8)
g) (+2/3) – ( (+1/5) = (R: 7/15)
h) (-2/5) – ( +1/2) = (R: -9/10)
2) Efetue as subtrações:
a) (+1/2) – (+5) = (R: -9/2)
b) (+5/7) – (+1) = (R: -2/7)
c) 0 – ( -3/7) = (R: 3/7)
d) (-4) – (-1/2) = (R: -7/2)
e) (+0,3) – (-1/5) = (R: ½)
f) (+0,7) – (-1/3) = 31/30
3) Calcule
a) -1 – ¾ = (R: -7/4)
b) (-3/5) + (1/2) = (R: -1/10)
c) 2 – ½ -1/4 = (R: 5/4)d) -3 -4/5 + ½ = (R: -33/10)
e) 7/3 + 2 -1/4 = (R: 49/12)
f) -3/2 + 1/6 + 2 -2/3 = (R: 0)
g) 1 – ½ + ¼ - 1/8 = (R:5/8)
h) 0,2 + ¾ + ½ - ¼ = (R:6/5)
i) ½ + (-0,3) + 1/6 = (R:11/30)
j) 1/5 + 1/25 + (-0,6) = (R: 1/10)
4) Calcule o valor de cada expressão:
a) 3/5 – 1 – 2/5 = (R: -4/5)
b) 3/5 – 0,2 + 1/10 = (R: ½)
c) -3 – 2 – 4/3 = (R: -19/3)
d) 4 – 1/10 + 2/5= (R: 43/10)
e) 2/3 – ½ -5 = (R: 29/6)
f) -5/12 – 1/12 + 2/3 = (R: 1/6)
5) Calcule o valor de cada expressões:
a) -1/3 + 2/9 – 4/3 = (R: -13/9)
b) -4 + ½ - 1/6 = (R:-11/3)
c) 0,3 + ½ - ¾ = (R: 1/20)
d) 1 + ¼ - 3/2 + 5/8 = (R: 3/8)
e) 0,1 + 3/2 – ¼ + 2 = (R: 67/20)
f) ¾ + 0,2 – 5/2 – 0,5 = ( R: - 41/20)
6) Calcule o valor de cada expressão
a) 1/2 – (-3/5) + 7/10 = (R: 9/5)
b) -(-1) – (- 4/3) + 5/6 = (R: 19/6)
c) 2 – ( - 2/3 – ¼) + 0,1 = (R: 181/60)d) ( -1 + ½) – ( -1/6 + 2/3) = (R: -1)
e) 2 – [ 3/5 – ( -1/2 + ¼ ) ] = (R: 23/20)
f) 3 – [ -1/2 – (0,1 + ¼ )] = (R: 77/20)
g) (1/3 + ½) – (5/6.- ¾) = (R: ¾)
h) (5/2 – 1/3 – ¾ ) – (1/2 + 1) = (R: -1/12)
i) (1/4 + ½ + 2 ) + (-1/6 + 2/3) = (R: 13/4)
j) (-0,3 + 0,5 ) – ( -2 - 4/5) = (R: 3)
k) (1/6 + 2/3) – (4/10 – 3/5) + 1/3 = (R: 41/30)
l) 0,2 + (2/3 – ¼) – ( -7/12 + 4/3) = (R: -2/15)
m) (1 – ¼) + (2 + ½) – (1 - 1/3) – ( 2 – ¼ ) = (R: 5/6 )
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM Q
MULTIPLICAÇÃO
Para multiplicarmos números racionais, procedemos do seguinte modo:
1) multiplicamos os numeradores entre si.
2) multiplicamos os denominadores entre si.
3) aplicamos as regras de sinais da multiplicação em Z.
EXEMPLOS :
a) (+1/7) . (+2/5) = +2/35
b) (-4/3) . (-2/7) = +8/21
c) (+1/4) . (-3/5) = -3/20
d) (-4) . (+1/5) = -4/5
EXERCICIOS
1) Efetue as multiplicações
a) (+1/5) . (+4/3) = (R: +4/15)
b) (+4/9) . ( -7/5) = (R: -28/45)
c) (-3/2) . ( -5/7) = (R: 15/14)
d) (-1/5) . (+1/4) = (R: -1/20)
e) (+2/3) . (-1/3) = (R: -2/9)
f) (-5/8) . (-4/3) = (R: +5/6)
g) (+4/5) . (-1/3) = (R: -4/15)
h) (-3/5) . (-7/4) = (R: +21/20)
2) Efetue as multiplicações
a) (+3) . (-1/5) = (R: -3/5)
b) (+2) . (+4/11) = (R: +8/11)
c) (-1) . (-3/10) = (R: 3/10)d) (-4/7) . (+5) = (R: -20/7)
e) (-2/5) . (-3) = (R: +6/5)
f) (+2/9) . 0 = (R: 0)
3) Efetue as multiplicações
a) (-1/2) . (+2/3) . (-3/7) = (R: +1/7)
b) (-2/5) . (-3/2) . (-8/5) = (R: -24/25)
c) (-1/2) . (-1/2) . (-1/2) = (R: -1/8)
d) (-1) . (+5/3) . (+3/5) = (R: -1)
e) (+7) . (-1/7) . (+7) = (R: -7)
4) Efetue as multiplicações:
a) (-2/3) . (+1/5) = (R: -2/15)
b) (-7/3) . (-3/7) = (R: 1)
c) (1/5) . (-7/3) = (R: -7/15)
d) (-2/9) . 5/7 = (R: -10/63)
e) (-3/4) . (-5/7) = (R: 15/28)
f) (-2) . (-1/6) = (R: 1/3)
g) 5 . (-4/7) = (R: -20/7)
h) -2 . (-1/3) = (R: 2/3)
5) Efetue as multiplicações:
a) (1/4 . 3/5) . 2/7 = (R: 3/70)
b) (2 – ¼) . (-2/3) = (R: -7/6)
c) (-3/4) . (+1/5) . (-1/2) = (R: 3/40)
d) 4. ( 1 – 7/5) = (R: -8/5)
e) (-3/5) . (-2) . (7/5) = (R: 42/25)
f) ( 1 – 4/5) . ( 1 – ½) = (R: 1/10)
DIVISÃO
Para Calcularmos o quociente de dois números racionais relativos, em que o segundo é diferente de zero, procedemos do seguinte modo:
1) multiplicamos o dividendo pelo inverso do divisor.
2) aplicamos as regras da multiplicação de números racionais.
Exemplos
a) ( -7/9 ) : (+5/2) = (-7/9) . (+2/5) = -14/45
b) (-1/4) : (-3/7) = ( -1/4) . (-7/3) = +7/12
c) (+3/5) : (-2) = (+3/5) . -1/2) = -3/10
EXERCICIOS
1) Efetue as divisões:
a) (+1/3) : (+2/3) = (R: +5/6)
b) (+4/7) : ( -2/5) = (R: -10/7)
c) (-3/5) : (-3/7) = (R: +7/5)
d) (-3/7) : (+2/3) = (R: -9/14)
e) (+1/9) : (-7/5) = (R: -5/63)
f) (+1/2) : (-3/4) = (R: -2/3)
g) (-3/4) : (-3/4) = (R: +1)
h) (-7/5) : (+1/2) = (R: -14/5)
3) Efetue as divisões:
a) (+5) : (-3/2) = (R: -10/3)b) (-4) : (-3/5) = (R: +20/3)
c) (-3) : (-2/9) = (R: +27/2)d) (-5/2) : (+2) = (R: -5/4)e) (+4/3) : (-2) = (R: -2/3)
f) (-3/5) : (+0,1) = (R: -6)
4) Efetue as divisões:
a) 2/3 : 3/16 = (R: 32/9)
b) 2/5 : (-3/4) = (R: -8/15)
c) (-4/5) : (-3/5) = ( R: 4/3)
d) (-4/9) : (-3) = (R: 4/27)
e) (-7/8) : 2/3 = (R: 21/10)f) 0 : (-4/7) = (R: 0)
POTENCIAÇÃO E RAIZ QUADRADA EM Q
POTENCIAÇÃO
A potenciação é uma multiplicação de fatores iguais
Exemplos
a) (+1/5)² = (+1/5) . (+1/5) = +1/25
b) (-2/3)² = (-2/3) . (-2/3) = +4/9
c) ((-1/2)³ = (-1/2) . (-1/2) . (-1/2) = -1/8
Observações:
1) Todo número elevado a expoente zero é igual a 1.
Exemplos:
a) (+5/9)⁰ = 1
b) (-3/7)⁰ = 1
2) Todo número elevado a expoente um é igual ao próprio número.
a) (+3/8)¹ = +3/8
b) (-3/4)¹ = -3/4
EXERCICIOS
1) Calcule as potências:
a) (+1/3)² = (R: +1/9)b) (-1/5)² = (R: +1/25)
c) (+2/3)² = (R: +4/9)
d) (-3/7)² = (R: +9/49)
e) (+4/5)² = (R: +16/25)
f) (-3/2)² = (R: +9/4)
g) (-8/3)² = (R: 64/9)
h) (-1/4)² = (R: 1/16)
i) (-2/3)³ = (R: 8/27)
2) Calcule as potências:
a) (+1/5)¹ = (R: +1/5)
b) (-3/7)¹ = (R: -3/7)
c) (+2/9)⁰ = (R: +1)
d) (-1/3)³ = (R: -1/27)
e) (+3/2)⁴ = (R: +81/16)
f) (-1/2)⁴= (R: +1/16)
g) (-2/7)⁰ = (R: +1)
h) (-1/6)¹ = (R: -1/6))
i) (-5/9)⁰ = (R: +1)
3) Calcule as expressões:
a) (-1/2)² + 2/5 = (R: 13/20)
b) (-1/2)³ + 1 = (R: 7/8)
c) (2/5)² - (-1/2)³ = (R: 57/200)d) 2 + (-1/3)² - (1/2) = (R: 29/18)
e) 1 + ( (+2/5) – ( ½)² = (R: 23/20)
EXPOENTE NEGATIVO
Observe o exemplo:
2² : 2⁵ = 2² / 2⁵ = 1/ 2³
Pela regra de divisão de potências de mesma base sabemos que:
2² : 2⁵ = 2²⁻⁵ = 2⁻³
Então 2⁻³ = 1/2³
Conclusão: Todo o número diferente de zero a um expoente negativo é igual ao inverso do mesmo número com expoente positivo.
Exemplos:
a) 5⁻² = 1/5² = 1/25
b) 2⁻³ = 1/2³= 1/8
EXERCICIOS
1) Calcule as potências:
a) 4⁻² = (R: 1/16)
b) 4⁻³ = ( R: 1/16)
c) 5⁻¹ = (R: 1/5)
d) 3⁻³ = (R: 1/27)
e) 10⁻² = (R: 1/100)
f) 10⁻³ = (R: 1/1000)
g) 2⁻⁵ = (R: 1/32)
h) 7⁻¹ = (R: 1/7)
i) 1⁻¹⁸ = (R: 1)
2) Calcular as potências
a) (-5)⁻² = (R: 1/25)
b) (-3)⁻⁴ = (R: 1/81)
c) (-2)⁻⁵ = (R: -1/32)
d) (-5)⁻³ = (R: -1/125)
e) (-1)⁻⁴ = (R: 1)
f) (-1)⁻⁵ = (R: -1)
2) Calcule as potências
a) (3/7)⁻² = (R: 49/9)
b) (2/5)⁻¹ = (R: 5/2)
c) (1/3)⁻³ = (R: 27)
d) (-5/4)⁻³ = (R: 16/25)
e) (-1/3)⁻² = (R: 9)
f) (-2/5)⁻³ = (R: -125/8)
RAIZ QUADRADA
Extraímos separadamente a raiz do numerador e a raiz do denominador,
Exemplos
a) √16/49 = 4/7
b) √25/9 = 5/3
Obs: Os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q
Exemplo √-4/3