Matemática

O Corpus Arquimediano

Apresentamos aqui a lista das obras de Arquimedes que, depois de muitas vicissitudes, chegaram à nós. A lista segue a ordem da edição crítica de Heiberg.

1) Sobre a Esfera e o Cilindro

Dirigida a Dosite, matemático de Alexandria, contém dois livros: no primeiro, Arquimedes demonstra que a esfera é $2/3$ do cilindro circunscrito a ela e que a superfície esférica é igual a quatro círculos máximos; no segundo, trata de problemas solucionáveis mediante esses resultados: por exemplo, dividir uma esfera em dois segmentos que têm entre si determinada relação.

2) A Medida do Círculo

Contém apenas três proposições. Na primeira, demonstra-se que o círculo é igual ao triângulo retângulo tendo por catetos o raio e a circunferência retificada. Na terceira, demonstra-se que a relação entre a circunferência e o diâmetro está compreendida entre $3 + 10/71$ e $3 + 1/7$.

3) Sobre Conoides e Esferoides

Dirigida a Dosite, estuda as figuras que hoje chamamos paraboloides, hiperboloides de rotação (conoides) e elipsoides (esferoides). Demonstra que o paraboloide de rotação é $3/2$ do cone com a mesma base e altura; resultados análogos (mas mais complexos) são obtidos para o hiperboloide e o elipsoide.

4) Sobre as Espirais

Dirigida a Dosite, define a "Espiral de Arquimedes" (a curva descrita por um ponto que se move de modo uniforme sobre uma reta que, por sua vez, se move de modo circular uniforme); essa curva é usada para obter uma retificação da circunferência.

5) Sobre o Equilíbrio dos Planos

Em dois livros, o primeiro deduz a lei da alavanca e determina o centro de gravidade de algumas figuras planas, como paralelogramo, triângulo e trapézio O segundo é inteiramente dedicado à determinação do centro de gravidade do segmento de parábola.

6) O Contador de Areia

Dedicado a Gelon de Siracusa, apresenta um sistema de numeração capaz de contar números muito grandes, como o número de grãos de areia contido em uma esfera do tamanho do Universo.

7) A Quadratura da Parábola

Dirigida a Dosite, demonstra que a parábola é $4/3$ do triângulo com a mesma base e altura. O texto é dividido em duas partes: a quadratura "mecânica" (na qual se recorre a conceitos de estática) e a "geométrica".

8) Sobre os Corpos Flutuantes

Em dois livros , o primeiro enuncia o "Princípio de Arquimedes": um corpo imerso em um fluído recebe um empuxo para o alto igual ao peso do volume do fluído deslocado. Baseado nisso, o final do primeiro livro determina as condições do equilíbrio de um segmento esférico flutuante; o segundo livro é dedicado ao estudo do comportamento de um paraboloide flutuante.

9) Stomachion

Obra curiosa, na qual é descrito uma espécie de tangram: trata-se de subdividir um quadrado ou um retângulo em quatorze partes comensuráveis entre si.

10) O Método Mecânico

Dedicada a Eratóstenes, Arquimedes revela o método heurístico que seguia para obter os resultados já descritos. Vários exemplos mostram como aplicar o método (quadratura da parábola, esfera, segmentos esféricos, conoides e esferoides). A obra visa principalmente o estudo da chamada "unha cilíndrica" e do sólido obtido mediante a intersecção de dois cilindros inscritos em um cubo.

11) Livro dos Lemas

Chegou até nós por meio de uma paráfase árabe. Trata de figuras como o "arbelon" ou o "salinon", obtidas pela intersecção de círculos.

12) O Problema dos Bois

Pequena obra em que Arquimedes desafia os matemáticos da época a resolver um problema aritmético: contar o número de bois - brancos, manchados, negros e castanhos - que o deus Sol conduzia na Trinácria, levando em conta certas relações entre o número de bois de cada cor. O problema leva a uma equação cuja solução implica números monstruosos, com mais de $200$ mil algarismos. Não se sabe como Arquimedes pôde ter encontrado a solução.

Veja mais:

O teorema da corda quebrada de Arquimedes
O Livro dos Lemas de Arquimedes
Sobre a Esfera e o Cilindro

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