Construção Geométrica da Espiral de Arquimedes com Régua e Compasso
Os trabalhos de Arquimedes são obras-primas de exposição matemática. Além de exibirem grande originalidade, habilidade computacional e rigor nas demonstrações, são escritos numa linguagem altamente acabada e objetiva. Cerca de dez tratados de Arquimedes se preservaram até nossos dias e há vestígios de outros extraviados. Veja aqui a lista das obras de Arquimedes que, depois de muitas vicissitudes, chegaram à nós, seguindo a ordem da edição crítica de Heiberg.
Em seu tratado sobre as espirais, com vinte e oito proposições, dedica-se às propriedades da curva que hoje conhecemos como Espiral de Arquimedes e cuja equação polar é dada por:
Onde r é o raio e k é uma constante de proporcionalidade. Podemos definir a espiral como o lugar dos pontos P que se movem uniformemente ao longo de um raio que, por sua vez, gira uniformemente numa plano em torno da origem.
Vamos aqui construir a espiral de Arquimedes utilizando apenas régua e compasso.
O processo de construção consiste em dividir uma circunferência em n partes iguais, dividir o raio em n partes iguais e descrever circunferências concêntricas com raios iguais à distância da origem O às divisões do raio. Em seguida, marcar os pontos Pn nas intersecções dos raios rn com as circunferências cn. A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes. Vejamos passo-a-passo:
1) Descreva uma circunferência e divida-a em n partes iguais. Vamos utiliza n = 16 por ser de fácil obtenção, somente traçando as mediatrizes:
2) Agora vamos dividir o raio em n = 16 partes iguais. Já vimos aqui como dividir um segmento de reta em n partes:
3) E tracemos as circunferências concêntricas passando pelos pontos da divisão do raio:
4) Marcamos os pontos P nas intersecções das circunferências cn com os raios rn e unimos esses pontos com segmentos de retas:
5) A curva que passa por esses pontos é a espiral de Arquimedes:
Referências:
[1] Introdução à História da Matemática – Howard Eves
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