Matemática

Construção Geométrica da Parábola com Régua e Compasso

Considere em um plano uma reta $d$ e um ponto $F$ não pertencente à $d$. A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes a $d$ e a $F$.

Temos que:

$\bullet$ O ponto $F$ é o foco da parábola;

$\bullet$ A reta $d$ é a diretriz;

$\bullet$ O eixo é a reta que passa por $F$ e é perpendicular à diretriz;

$\bullet$ O vértice é a intersecção da parábola com seu eixo e é denominada por $V$.

Vejam que para uma curva ser uma parábola, a distância $PF$ deve ser igual à distância $PP^\prime$:

\begin{equation}
d(PF)=d(PP^\prime)
\end{equation}

Ou também:

\begin{equation}
\mid \overrightarrow{PF} \mid = \mid \overrightarrow{PP^\prime} \mid
\end{equation}

Observem que se a distância $AF$ vai diminuindo, a curva tende a uma reta. Desta forma, se $F = A$, a curva se degenera numa reta.

Seguindo a definição, podemos construir uma parábola utilizando apenas régua e compasso. Vamos iniciar com a reta diretriz d e um foco $F$ qualquer. O vértice é o ponto médio do segmento $\overline{FA}$, satisfazendo a definição de parábola:

Vamos agora traçar uma reta $r_1$ paralela a $d$ a uma distância $h_1$:

Em seguida, trace quantas retas desejar: $r_2$, $r_3$, $\cdots$, $r_n$ paralelas a $d$ cujas distâncias são respectivamente iguais a $h_2$, $h_3$, $\cdots$, $h_n$:

Com a ponta seca do compasso em $F$ e raio igual a $h_1$, descreva um arco interceptando $r_1$ nos pontos $P_1$ e $P_1^\prime$. Em seguida, com raio igual a $h_2$, descreva outro arco interceptando $r_2$ em $P_2$ e $P_2^\prime$, e assim sucessivamente, encontrando os pontos $P_n$ e $P_n^\prime$:

A parábola é a curva que passa pelos ponto $V$, $P_n$ e $P_n^\prime$:

Desta forma, fica fácil observar que o eixo da parábola divide-a em duas partes simétricas:

Referências:

$[1]$ Geometria Analítica – Steinbruch e Winterle
$[2]$ Matemática Ensino Médio V1 – Stocco Smole e Diniz

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