Matemática
1 - Introdução
Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição, obterá a seguinte definição para a parábola:
"Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."
Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição absoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a eles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições matemáticas).
2 - Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:(y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x \ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 \ y2 = 8(x-2) \ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 \ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) \ y2 - 6y + 9 = 16x - 32 \ y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 \ p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1) \ x2 = 12y - 12 \ x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
Exercício proposto
Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2).
Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0
www.algosobre.com.br/matematica
- Coordenadas Do Vértice Da Parábola
Coordenadas do vértice da parábolaMarcelo Rigonatto VérticesToda função quadrática ou do 2º grau é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola que, dependendo do...
- Vértice Da Função
Para determinar os vértices V(xv, yv) de uma parábola é preciso prosseguir da seguinte maneira: Sabemos que o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0,c), nesse caso y = c, assim substituímos esse valor na equação y = ax2 + bx + c,...
- Como Encontrar O Foco E A Diretriz De Uma Parábola Com Régua E Compasso
Neste artigo veremos como encontrar o foco e a reta diretriz de uma parábola dada, utilizando para isso, apenas régua não-graduada e compasso. Para a construção da parábola, dispomos de $4$ métodos apresentados aqui no blog. Veja no rodapé deste...
- Construção Geométrica Da Parábola Pelo Método Das Mediatrizes
Este método, permite a construção de uma parábola a partir de seu foco $F$ e da reta diretriz $d$. Quando traçamos as mediatrizes do ponto $F$ e dos pontos $P_N$ sobre a diretriz, a envoltória criada pelas mediatrizes gera a parábola. Dado um foco...
- Construção Geométrica Da Parábola Com Régua E Compasso
Considere em um plano uma reta $d$ e um ponto $F$ não pertencente à $d$. A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes a $d$ e a $F$. Temos que: $\bullet$ O ponto $F$ é o foco da parábola; $\bullet$ A reta $d$ é...
Matemática
Geometria Analítica, Parábola
1 - Introdução
Se você consultar o Novo Dicionário Brasileiro Melhoramentos - 7ª edição, obterá a seguinte definição para a parábola:
"Curva plana, cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma reta fixa (diretriz) ou curva resultante de uma secção feita num cone por um plano paralelo à geratriz. Curva que um projétil descreve."
Esta definição não está distante da realidade do rigor matemático. (Os dicionários, são, via de regra, uma boa fonte de consulta também para conceitos matemáticos, embora não se consiga neles - é claro - a perfeição absoluta, o que, de uma certa forma, é bastante compreensível, uma vez que a eles, não cabe a responsabilidade pela precisão dos conceitos e definições matemáticas).
2 - Definição
Considere no plano cartesiano xOy, uma reta d (diretriz) e um ponto fixo F (foco) pertencente ao eixo das abcissas (eixo dos x), conforme figura abaixo:
Denominaremos PARÁBOLA, à curva plana formada pelos pontos P(x,y) do plano cartesiano, tais que
PF = Pd onde:
PF = distância entre os pontos P e F
PP' = distância entre o ponto P e a reta d (diretriz).
Importante: Temos portanto, a seguinte relação notável: VF = p/2
3 - Equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem
Observando a figura acima, consideremos os pontos: F(p/2, 0) - foco da parábola, e P(x,y) - um ponto qualquer da parábola. Considerando-se a definição acima, deveremos ter: PF = PP'
Daí, vem, usando a fórmula da distancia entre pontos do plano cartesiano:
Desenvolvendo convenientemente e simplificando a expressão acima, chegaremos à equação reduzida da parábola de eixo horizontal e vértice na origem, a saber:y2 = 2px onde p é a medida do parâmetro da parábola.
3.1 - Parábola de eixo horizontal e vértice no ponto (x0, y0)
Se o vértice da parábola não estiver na origem e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica:(y - y0)2 = 2p(x-x0)
3.2 - Parábola de eixo vertical e vértice na origem
Não é difícil provar que, se a parábola tiver vértice na origem e eixo vertical, a sua equação reduzida será: x2 = 2py
3.3 - Parábola de eixo vertical e vértice no ponto (x0, y0)
Analogamente, se o vértice da parábola não estiver na origem, e, sim, num ponto (x0, y0), a equação acima fica: (x - x0)2 = 2p(y - y0)
Exercícios resolvidos
1 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na origem?
Solução: Temos p/2 = 2 \ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x \ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0.
2 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no ponto V(2,0)?
Solução: Como já sabemos que VF = p/2, vem, 2 = p/2 \ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 \ y2 = 8(x-2) \ y2 - 8x + 16 = 0, que é a equação da parábola.
3 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no ponto V(2,3)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 \ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) \ y2 - 6y + 9 = 16x - 32 \ y2 - 6y - 16x + 41 = 0, que é a equação procurada.
4 - Qual a equação da parábola de foco no ponto F(0,4) e vértice no ponto V(0,1)?
Solução: Como VF = p/2, vem: 3 = p/2 \ p = 6. Logo,
(x - 0)2 = 2.6(y - 1) \ x2 = 12y - 12 \ x2 - 12y + 12 = 0, que é a equação procurada.
Exercício proposto
Determine a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 0 e cujo foco é o ponto F(2,2).
Resposta: x2 - 4x - 4y + 8 = 0
www.algosobre.com.br/matematica
- Coordenadas Do Vértice Da Parábola
Coordenadas do vértice da parábolaMarcelo Rigonatto VérticesToda função quadrática ou do 2º grau é do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico de uma função do segundo grau é uma parábola que, dependendo do...
- Vértice Da Função
Para determinar os vértices V(xv, yv) de uma parábola é preciso prosseguir da seguinte maneira: Sabemos que o ponto de intersecção da parábola com o eixo Oy é (0,c), nesse caso y = c, assim substituímos esse valor na equação y = ax2 + bx + c,...
- Como Encontrar O Foco E A Diretriz De Uma Parábola Com Régua E Compasso
Neste artigo veremos como encontrar o foco e a reta diretriz de uma parábola dada, utilizando para isso, apenas régua não-graduada e compasso. Para a construção da parábola, dispomos de $4$ métodos apresentados aqui no blog. Veja no rodapé deste...
- Construção Geométrica Da Parábola Pelo Método Das Mediatrizes
Este método, permite a construção de uma parábola a partir de seu foco $F$ e da reta diretriz $d$. Quando traçamos as mediatrizes do ponto $F$ e dos pontos $P_N$ sobre a diretriz, a envoltória criada pelas mediatrizes gera a parábola. Dado um foco...
- Construção Geométrica Da Parábola Com Régua E Compasso
Considere em um plano uma reta $d$ e um ponto $F$ não pertencente à $d$. A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes a $d$ e a $F$. Temos que: $\bullet$ O ponto $F$ é o foco da parábola; $\bullet$ A reta $d$ é...