Matemática
O teorema de Laplace consiste num método de calcular o determinante de matrizes quadradas de ordem n ≥ 2 utilizando o cofator.
Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número:
Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:
1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.
2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.
3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.
Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 2 e 3, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou igual a 4.
Faremos alguns exemplos de aplicação do teorema proposto.
Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o Teorema de Laplace.
Solução: Primeiro, vamos calcular o determinante utilizando o método prático de Sarrus.
Agora, vamos calcular o determinante utilizando o Teorema de Laplace.
Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.
Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:
Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja:
D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4.
Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.
Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz a seguir utilizando o Teorema de Laplace.
Solução: Devemos escolher uma linha ou uma coluna da matriz A.
Se escolhermos a coluna 2, teremos:
Pelo teorema de Laplace, sabemos que:
D = a12∙A12 + a22∙A22 + a32∙A32 + a42∙A42
Segue que:
Assim, o determinante da matriz A será:
D = 3∙9 + 2∙48 + 1∙(-24) + 1∙(-15) = 27 + 96 - 24 - 15 = 84
- Determinantes: Teorema De Laplace
Pierre Simon, Marquis de Laplace (Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749 — Paris, 5 de março de 1827) foi um matemático, astrônomo e físico francês que organizou a astronomia matemática, sumarizando e ampliando o trabalho de seu predecessores...
- Determinante De Uma Matriz Quadrada De Ordem N
Para conhecermos o determinante de uma matriz de ordem 2x2 e 3x3 utilizamos a Regra de Sarrus. Nos casos em que a ordem for maior que 3x3 devemos utilizar o Teorema de Laplace. Enfatizaremos nosso estudo dos determinantes nas matrizes de ordem 2x2 e 3x3...
- Cálculo Do Determinante De Uma Matriz Quadrada
Cálculo do determinante de uma matriz quadradaMarcelo Rigonatto Matriz quadradaMatriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação...
- Cálculo Do Cofator De Uma Matriz Quadrada
Cálculo do cofator de uma matriz quadradaMarcelo Rigonatto MatrizO cálculo do determinante de uma matriz quadrada, muitas vezes, pode ser simplificado utilizando algumas propriedades e teoremas. O cofator é um elemento que facilitará...
- Determinante
a) Menor complementar O menor complementar de um elemento é o determinante da sua matriz quadrada. Para obtermos o menor complementar basta eliminar a linha e a coluna que o elemento pertence. Obs.: todos elementos de uma matriz possui um menor complementar....
Matemática
O Teorema de Laplace
O Teorema de Laplace
Marcelo Rigonatto Determinante
Lembrando que o cofator do elemento aij de uma matriz quadrada é o número:
Para calcular o determinante de uma matriz M quadrada de ordem n ≥ 2 utilizando o Teorema de Laplace, devemos proceder da seguinte forma:
1. Escolha qualquer fila (linha ou coluna) da matriz M.
2. Multiplique cada elemento da fila pelo seu respectivo cofator.
3. O teorema de Laplace diz que o determinante da matriz M será a soma dos produtos dos elementos da fila pelos seus respectivos cofatores.
Como já dispomos de métodos práticos para o cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 2 e 3, é interessante aplicar o Teorema de Laplace para matrizes de ordem maior ou igual a 4.
Faremos alguns exemplos de aplicação do teorema proposto.
Exemplo 1. Calcule o determinante da matriz abaixo utilizando o dispositivo prático de Sarrus e o Teorema de Laplace.
Solução: Primeiro, vamos calcular o determinante utilizando o método prático de Sarrus.
Agora, vamos calcular o determinante utilizando o Teorema de Laplace.
Devemos escolher qualquer linha ou coluna da matriz M. Nesse caso, escolheremos a linha 2.
Agora, multiplicaremos cada elemento da linha pelo seu respectivo cofator:
Logo, o determinante será a soma desses produtos, ou seja:
D = – 6 + 3 +( – 1) = – 4.
Observe que nesse caso o dispositivo prático de Sarrus torna o cálculo do determinante bem mais simples que o Teorema de Laplace, como foi dito anteriormente.
Exemplo 2. Calcule o determinante da matriz a seguir utilizando o Teorema de Laplace.
Solução: Devemos escolher uma linha ou uma coluna da matriz A.
Se escolhermos a coluna 2, teremos:
Pelo teorema de Laplace, sabemos que:
D = a12∙A12 + a22∙A22 + a32∙A32 + a42∙A42
Segue que:
Assim, o determinante da matriz A será:
D = 3∙9 + 2∙48 + 1∙(-24) + 1∙(-15) = 27 + 96 - 24 - 15 = 84
- Determinantes: Teorema De Laplace
Pierre Simon, Marquis de Laplace (Beaumont-en-Auge, 23 de março de 1749 — Paris, 5 de março de 1827) foi um matemático, astrônomo e físico francês que organizou a astronomia matemática, sumarizando e ampliando o trabalho de seu predecessores...
- Determinante De Uma Matriz Quadrada De Ordem N
Para conhecermos o determinante de uma matriz de ordem 2x2 e 3x3 utilizamos a Regra de Sarrus. Nos casos em que a ordem for maior que 3x3 devemos utilizar o Teorema de Laplace. Enfatizaremos nosso estudo dos determinantes nas matrizes de ordem 2x2 e 3x3...
- Cálculo Do Determinante De Uma Matriz Quadrada
Cálculo do determinante de uma matriz quadradaMarcelo Rigonatto Matriz quadradaMatriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação...
- Cálculo Do Cofator De Uma Matriz Quadrada
Cálculo do cofator de uma matriz quadradaMarcelo Rigonatto MatrizO cálculo do determinante de uma matriz quadrada, muitas vezes, pode ser simplificado utilizando algumas propriedades e teoremas. O cofator é um elemento que facilitará...
- Determinante
a) Menor complementar O menor complementar de um elemento é o determinante da sua matriz quadrada. Para obtermos o menor complementar basta eliminar a linha e a coluna que o elemento pertence. Obs.: todos elementos de uma matriz possui um menor complementar....