Matemática

Projeção Ortogonal de um Segmento de Reta Sobre um Plano

$1)$ Projeção de um ponto

Definição $1$: Chama-se projeção ortogonal de um ponto $P$ sobre um plano $\alpha$ o pé da perpendicular ao plano conduzida pelo ponto. O plano $\alpha$ é chamado de plano de projeção e a reta perpendicular é chamada de projetante do ponto.

[Figura 1]

Assim, representamos a projeção no ponto $P$ como $P'$ contida no plano de projeção, simbolizada por $P'=\text{proj}_\alpha P$.

$2)$ Projeção de figuras

Definição $2$: Chama-se projeção ortogonal de uma figura $F$ sobre um plano $\alpha$ o cpnjunto das projeções ortogonais dos pontos que compõem esta figura.

[Figura 2]

Assim, simbolizamos a figura projetada por $F'=\text{proj}_\alpha F$.

$3)$ Projeção de uma reta

De acordo com as duas definições anteriores, temos que:

$a)$ Se a reta $r$ é perpendicular ao plano $\alpha$, sua projeção ortogonal sobre o plano é o traço da reta no plano.

[Figura 3]

Assim, $P=\text{proj}_\alpha r$.

$b)$ Se a reta for não-perpendicular ao plano $\alpha$, temos a particular definição:

Definição $3$: Chama-se projeção ortogonal de uma reta $r$ não-perpendicular ao plano $\alpha$, o traço em $\alpha$ do plano $\beta$ que contém $r$, perpendicular a $\alpha$, conduzida por $r$.

[Figura 4]

Assim, temos que $r'=\text{proj}_\alpha r$, de modo que $\alpha$ é o plano de projeção e $\beta$ é o plano projetantes de $r$.

$4)$ Projeção de um Segmento de Reta

Definição $4$: Chama-se projeção ortogonal sobre um plano $\alpha$ de um segmento $\overline{AB}$, contido numa reta não-perpendicular a $\alpha$, o segmento $\overline{A'B'}$, onde $A'=\text{proj}_\alpha$ e $B'=\text{proj}_\beta$.

[Figura 5]

Teorema $1$: A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre esse plano, é menor que o segmento.

Por hipótese, temos que o segmento $\overline{AB}$ é oblíquo ao plano $\alpha$. Logo, sua projeção $\overline{A'B'}=\text{proj}_\alpha \overline{AB}$. Em tese, temos que a projeção $\overline{A'B'}$ é menor que o segmento $\overline{AB}$.

[Figura 6]

Demonstração: Conduzimos por $A$ uma reta paralela ao segmento $\overline{A'B'}$, interceptando a reta projetante de $B$ em $B''$

Temos que $AA'B'B''$ é um retângulo. Então, $\overline{A'B'}=\overline{AB''}$. Já o triângulo $AB''B$ é retângulo em $B''$, então $\overline{AB''}<\overline{AB}$, já que $\overline{AB}$ é a hipotenusa deste triângulo. Assim, $\overline{A'B'}<\overline{AB}$.

[Figura 7]

Se uma das extremidades, por exemplo $A$, pertencer ao plano de projeção, temos que o triângulo $AB'B$ é retângulo em $B'$ e então $\overline{AB'}<\overline{AB} \Rightarrow \overline{A'B'}<\overline{AB}$.

O comprimento da projeção de um segmento não-perpendicular ao plano de projeção será sempre menor que o segmento dado e pode ser calculado se soubermos o comprimento do segmento e o ângulo de sua inclinação em relação ao plano de projeção.

[Figura 8]

Da trigonometria sabemos que:

\begin{equation*}
\cos(\theta)=\frac{\overline{AB'}}{\overline{AB}}=\frac{r'}{r}
\end{equation*}

Logo:

\begin{equation*}
r'=r\cos(\theta)
\end{equation*}

Exemplo $1$: Um segmento $\overline{AB}$ de comprimento igual a $2u.c.$ (unidades de comprimento), está iclinado a $30^\circ$ em relação ao plano de sua projeção, sendo que os pontos $A$ e $B$ não-pertencentes a este plano. Determinar o comprimento da projeção do segmento.

[Figura 9]

Aplicando a fórmula $r'=r\cos(\theta)$, obtemos:

\begin{matrix}
r'=2 \cdot(30^\circ)\\
r'=2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\\
r'=\sqrt{3} u.c.
\end{matrix}
o que faz sentido, já que $r'<r$.

Podemos reunir algumas propriedades importantes:

$P_1-$ A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano é um ponto.

$P_2-$ A projeção ortogonal de um segmento oblíquo a um plano, sobre o plano, é sempre menor que o segmento.

$P_3-$ A projeção ortogonal sobre um plano, de um segmento contido numa reta não-perpendicular ao plano é menor que o segmento ou congruente a ele.

$P_4-$ Se um segmento tem projeção ortogonal congruente a ele, então ele é paralelo ao plano de projeção ou está contido nele.

$P_5-$ Duas retas paralelas não-perpendiculares ao plano de projeção têm projeções paralelas.

$P_6-$ Se os planos projetantes de duas retas não-perpendiculares ao plano de projeção são paralelos, então as projeções dessas retas são paralelas.

$P_7-$ Se dois planos são perpendiculares entre si, as projeções dos pontos de um deles sobre o outro é o traço dos planos.

Referências:

[1] Fundamentos de Matemática Elementar V10 - Geometria Espacial - Posição e Métrica - Osvaldo Dolce & José Nicolau Pompeo

Veja mais:

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