Matemática
Nesta postagem, veremos como determinar o ângulo de segmento e provar que vale a metade do ângulo central.
Considerando a figura acima, temos que:
$\bullet$ $\alpha = t\hat{A}s$ é o ângulo de segmento;
$\bullet$ $\widehat{AB}$ é o arco subtendido;
$\bullet$ $\beta = A\hat{O}B$ é o ângulo central correspondente ao ângulo semi-inscrito $\alpha$.
O nome ângulo de segmento vem do segmento circular $\widehat{AB}$ definido pelo ângulo central $\beta$.
Para este teorema, temos três casos: o ângulo de segmento pode ser agudo, reto ou obtuso.
Considere o triângulo isósceles $OAB$ na figura acima. Vamos determinar o ângulo $\hat{A}$. Temos que:
\begin{equation*}
\hat{A} + \hat{B} + \beta = 180°\\
\hat{A} + \hat{A} + \beta = 180°\\
2\hat{A} = 180° - \beta
\end{equation*}
Daqui obtemos:
\begin{equation}
\hat{A} = 90°-\frac{\beta}{2}
\end{equation}
Sendo a reta $t$ tangente à circunferência em $A$, temos:
\begin{equation}
\alpha + \hat{A} = 90° \Longrightarrow \hat{A} = 90° - \alpha
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
90° - \alpha = 90° - \frac{\beta}{2}
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\beta}{2}=\frac{\widehat{AB}}{2}
\end{equation}
Como o segmento $\overline{AB}$ é o diâmetro da circunferência, o ângulo $\beta=180°$. A tangente $t$ é ortogonal em $A$ e $\alpha=90°$. Assim:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\beta}{2}
\end{equation}
Aplicando o primeiro caso no ângulo $\alpha '$, que é o adjacente suplementar do ângulo $\alpha$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha ' =\frac{\beta '}{2}
\end{equation}
Por outro lado, $\beta + \beta ' = 360°$, logo:
\begin{equation}
\beta ' = 360° - \beta
\end{equation}
Substituindo $(6)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha ' = \frac{360° - \beta}{2} = 180° - \frac{\beta}{2}
\end{equation}
Como $\alpha + \alpha ' = 180°$, temos:
\begin{equation}
\alpha = 180° - \alpha '
\end{equation}
Substituindo $(7)$ em $(8)$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha = 180° - 180° - \frac{\beta}{2} = \frac{\beta}{2}
\end{equation}
O Teorema do Ângulo Inscrito
O Teorema da Base Média de um Triângulo
- Fórmulas Para A área De Um Triângulo
Veremos neste post $4$ fórmulas para calcular a área de um triângulo. Todas elas dependem de pelo menos um dos lados do triângulo. Primeiramente, determinaremos a área do paralelogramo, que servirá como base para as demonstrações subsequentes....
- Teorema Do Quadrilátero Inscritível
Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se seus vértices são pontos desta circunferência. Teorema: Se um quadrilátero é inscritível numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares. Por hipóteses temos que o quadrilátero...
- Soma Dos Ângulos Internos E Externos De Um Polígono Convexo
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende da quantidade de lados que esse polígono possui; já a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é uma constante e vale $360^\circ$. Ângulos Internos Definição $1$: Ângulo interno...
- Equação Das Bissetrizes Dos Ângulos Formados Por Duas Retas Concorrentes
Nesta postagem veremos como construir a bissetriz de um ângulo dado utilizando apenas régua e compasso e também como obter a equação das bissetrizes dos ângulos formado por duas retas concorrentes fazendo uso da Geometria Analítica.[Figura 1] Primeiramente,...
- Demonstração Da Relação Trigonométrica Fundamental
Nesta artigo, veremos como encontrar a relação trigonométrica fundamental no círculo trigonométrico utilizando o teorema de Pitágoras. Considere o círculo trigonométrico abaixo de raio unitário: O ponto $C$ é um ponto genérico sobre a circunferência...
Matemática
Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito
Nesta postagem, veremos como determinar o ângulo de segmento e provar que vale a metade do ângulo central.
Definição:
Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência, um dos lados é uma secante e o outro lado é tangente à circunferência.Considerando a figura acima, temos que:
$\bullet$ $\alpha = t\hat{A}s$ é o ângulo de segmento;
$\bullet$ $\widehat{AB}$ é o arco subtendido;
$\bullet$ $\beta = A\hat{O}B$ é o ângulo central correspondente ao ângulo semi-inscrito $\alpha$.
O nome ângulo de segmento vem do segmento circular $\widehat{AB}$ definido pelo ângulo central $\beta$.
Teorema:
Um ângulo de segmento é a metade do ângulo central correspondente.Para este teorema, temos três casos: o ângulo de segmento pode ser agudo, reto ou obtuso.
Demonstrações:
$1º$ Caso: O ângulo de segmento é agudo
Considere o triângulo isósceles $OAB$ na figura acima. Vamos determinar o ângulo $\hat{A}$. Temos que:
\begin{equation*}
\hat{A} + \hat{B} + \beta = 180°\\
\hat{A} + \hat{A} + \beta = 180°\\
2\hat{A} = 180° - \beta
\end{equation*}
Daqui obtemos:
\begin{equation}
\hat{A} = 90°-\frac{\beta}{2}
\end{equation}
Sendo a reta $t$ tangente à circunferência em $A$, temos:
\begin{equation}
\alpha + \hat{A} = 90° \Longrightarrow \hat{A} = 90° - \alpha
\end{equation}
Substituindo $(2)$ em $(1)$, obtemos:
\begin{equation*}
90° - \alpha = 90° - \frac{\beta}{2}
\end{equation*}
O que nos leva a:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\beta}{2}=\frac{\widehat{AB}}{2}
\end{equation}
$2º$ Caso: O ângulo de segmento é reto
Como o segmento $\overline{AB}$ é o diâmetro da circunferência, o ângulo $\beta=180°$. A tangente $t$ é ortogonal em $A$ e $\alpha=90°$. Assim:
\begin{equation}
\alpha = \frac{\beta}{2}
\end{equation}
$3º$ Caso: O ângulo de segmento é obtuso
Aplicando o primeiro caso no ângulo $\alpha '$, que é o adjacente suplementar do ângulo $\alpha$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha ' =\frac{\beta '}{2}
\end{equation}
Por outro lado, $\beta + \beta ' = 360°$, logo:
\begin{equation}
\beta ' = 360° - \beta
\end{equation}
Substituindo $(6)$ em $(5)$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha ' = \frac{360° - \beta}{2} = 180° - \frac{\beta}{2}
\end{equation}
Como $\alpha + \alpha ' = 180°$, temos:
\begin{equation}
\alpha = 180° - \alpha '
\end{equation}
Substituindo $(7)$ em $(8)$, obtemos:
\begin{equation}
\alpha = 180° - 180° - \frac{\beta}{2} = \frac{\beta}{2}
\end{equation}
Referências:
[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo – Atual EditoraVeja mais:
O Teorema de StewartO Teorema do Ângulo Inscrito
O Teorema da Base Média de um Triângulo
- Fórmulas Para A área De Um Triângulo
Veremos neste post $4$ fórmulas para calcular a área de um triângulo. Todas elas dependem de pelo menos um dos lados do triângulo. Primeiramente, determinaremos a área do paralelogramo, que servirá como base para as demonstrações subsequentes....
- Teorema Do Quadrilátero Inscritível
Um quadrilátero está inscrito numa circunferência se seus vértices são pontos desta circunferência. Teorema: Se um quadrilátero é inscritível numa circunferência, então os ângulos opostos são suplementares. Por hipóteses temos que o quadrilátero...
- Soma Dos Ângulos Internos E Externos De Um Polígono Convexo
A soma dos ângulos internos de um polígono convexo depende da quantidade de lados que esse polígono possui; já a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é uma constante e vale $360^\circ$. Ângulos Internos Definição $1$: Ângulo interno...
- Equação Das Bissetrizes Dos Ângulos Formados Por Duas Retas Concorrentes
Nesta postagem veremos como construir a bissetriz de um ângulo dado utilizando apenas régua e compasso e também como obter a equação das bissetrizes dos ângulos formado por duas retas concorrentes fazendo uso da Geometria Analítica.[Figura 1] Primeiramente,...
- Demonstração Da Relação Trigonométrica Fundamental
Nesta artigo, veremos como encontrar a relação trigonométrica fundamental no círculo trigonométrico utilizando o teorema de Pitágoras. Considere o círculo trigonométrico abaixo de raio unitário: O ponto $C$ é um ponto genérico sobre a circunferência...