Matemática
O triângulo retângulo possui diversas relações interessantes. Neste artigo veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos.
Primeiramente, vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas deduções que seguem:
$a)$ ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
$b)$ Lados opostos a vértices correspondentes são iguais.
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DEF \Longleftrightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} ~~\text{e} ~\left\{\begin{matrix}
\hat{A} & \cong & \hat{D}\\
\hat{B} & \cong & \hat{E}\\
\hat{C} & \cong & \hat{F}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Seja o triângulo $ABC$, reto em $\hat{A}$:
Temos que:
$\bullet$ $a$ é a hipotenusa;
$\bullet$ $b$ e $c$ são os catetos;
$\bullet$ $h$ é a altura do triângulo relativa à hipotenusa;
$\bullet$ $m$ é a projeção ortogonal do cateto $c$ sobre a hipotenusa;
$\bullet$ $n$ é a projeção ortogonal do cateto $b$ sobre a hipotenusa.
de modo que:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAB \sim \triangle DAC
\end{equation*}
$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DBA$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DBA \Longleftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
c^2 = am \\
bm = ch
\end{gather}
$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
b^2 = an \\
bh = cn
\end{gather}
$\bullet$ O triângulo $DAB$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle DAB \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
cn = bh \\
bm = ch\\
h^2 = mn
\end{gather}
Somando membro a membro as relações $(2)$ e $(5)$ obtemos:
\begin{equation*}
b^2 +c^2 = an+am \\
b^2+c^2 = a(m+n)
\end{equation*}
No entanto,as projeções ortogonais $m$ e $n$ dos catetos $b$ e $c$ sobre a hipotenusa $a$, tem comprimento igual a $m+n=a$. Assim, chegamos ao Teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
b^2+c^2 = a^2
\end{equation}
Da relação $(10)$, temos que:
\begin{equation*}
a^2=b^2+c^2 \Rightarrow a^2=3^2+4^2 \Rightarrow a^2=25 \Rightarrow a=5
\end{equation*}
Da relação $(4)$, temos que:
\begin{equation*}
ah=bc \Rightarrow 5h=3\cdot 4 \Rightarrow h = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Da relação $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
c^2=am \Rightarrow 3^2 = 5m \Rightarrow m=\frac{9}{5}
\end{equation*}
Da relação $(5)$, temos que:
\begin{equation*}
b^2=an \Rightarrow 4^2=5n \Rightarrow n=\frac{16}{5}
\end{equation*}
Assim, os valores procurados são: $a=5$, $\displaystyle \frac{12}{5}$, $\displaystyle m=\frac{9}{5}$ e $\displaystyle n=\frac{16}{5}$.
Como o triângulo é isósceles, altura $h$ divide o segmento $\overline{BC}$ em duas partes iguais. Assim, $\overline{BD}=\overline{CD}=4$. Aplicamos, então, o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $DAC$:
\begin{equation*}
5^2=4^2+h^2 \Rightarrow h^2=9 \Rightarrow h=3
\end{equation*}
A medida procurada é $h=3$.
Podemos representar o problema como a imagem abaixo:
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é o segmento que une o ponto à reta sendo perpendicular a ela. Na figura está representada pelo segmento $d=\overline{MN}$.
Primeiramente, vamos encontrar a medida $h$, utilizando-se do fato do triângulo ser isósceles. Assim, o segmento $\overline{CM}=4$. Aplicamos o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
5^2 = 4^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 9 \Rightarrow h = 3
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a relação $(1)$ no triângulo $ACM$ para encontrarmos o segmento $d$:
\begin{equation*}
5d=3\cdot 4 \Rightarrow 5d = 12 \Rightarrow d = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Assim, a medida procurada é $d=12/5$.
Teorema da base média de um triângulo
O Teorema de Pitágoras, segundo Euclides
- O Teorema Da Corda Quebrada De Arquimedes
O matemático árabe Abul Raihan al Biruni atribui a Arquimedes, uma elegante proposição geométrica, chamada teorema da corda quebrada o qual enunciaremos abaixo: Teorema (Arquimedes):Se $AB$ e $BC$ compõem uma corda quebrada $ABC$, onde $BC >...
- Razão De Secção
Consideremos três pontos: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$, pertencentes a uma mesma reta $r$, oblíqua aos eixos $x$ e $y$ e ainda sendo $B$ e $C$ distintos. Definição:A razão $k$ das medidas algébricas de $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
- Ângulo De Segmento Ou ângulo Semi-inscrito
Nesta postagem, veremos como determinar o ângulo de segmento e provar que vale a metade do ângulo central. Definição:Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência,...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
Matemática
Relações métricas no triângulo retângulo
O triângulo retângulo possui diversas relações interessantes. Neste artigo veremos algumas relações métricas utilizando semelhança de triângulos.
Primeiramente, vamos relembrar algumas definições que serão importantes nas deduções que seguem:
Definição $1$: Triângulo retângulo
Um triângulo é chamado de triângulo retângulo se possuir um ângulo interno reto. O lado oposto ao ângulo reto recebe o nome de hipotenusa e os outros dois lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos.Definição $2$: Semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, existe uma correspondência biunívuca, que associa os três vértices de um triângulo aos três vértices do outro triângulo, tais que:$a)$ ângulos com vértices correspondentes são congruentes;
$b)$ Lados opostos a vértices correspondentes são iguais.
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DEF \Longleftrightarrow \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF} ~~\text{e} ~\left\{\begin{matrix}
\hat{A} & \cong & \hat{D}\\
\hat{B} & \cong & \hat{E}\\
\hat{C} & \cong & \hat{F}
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Seja o triângulo $ABC$, reto em $\hat{A}$:
Temos que:
$\bullet$ $a$ é a hipotenusa;
$\bullet$ $b$ e $c$ são os catetos;
$\bullet$ $h$ é a altura do triângulo relativa à hipotenusa;
$\bullet$ $m$ é a projeção ortogonal do cateto $c$ sobre a hipotenusa;
$\bullet$ $n$ é a projeção ortogonal do cateto $b$ sobre a hipotenusa.
Demonstrações:
Para as demonstrações que seguem, vamos separar o triângulo $ABC$ em dois triângulos. Assim, teremos três triângulos semelhantes:de modo que:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAB \sim \triangle DAC
\end{equation*}
$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DBA$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DBA \Longleftrightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
c^2 = am \\
bm = ch
\end{gather}
$\bullet$ O triângulo $ABC$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle ABC \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
ah = bc \\
b^2 = an \\
bh = cn
\end{gather}
$\bullet$ O triângulo $DAB$ é semelhante ao triângulo $DAC$:
\begin{equation*}
\triangle DAB \sim \triangle DAC \Longleftrightarrow \frac{c}{b} = \frac{h}{n} = \frac{m}{h}
\end{equation*}
Assim:
\begin{gather}
cn = bh \\
bm = ch\\
h^2 = mn
\end{gather}
Somando membro a membro as relações $(2)$ e $(5)$ obtemos:
\begin{equation*}
b^2 +c^2 = an+am \\
b^2+c^2 = a(m+n)
\end{equation*}
No entanto,as projeções ortogonais $m$ e $n$ dos catetos $b$ e $c$ sobre a hipotenusa $a$, tem comprimento igual a $m+n=a$. Assim, chegamos ao Teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
b^2+c^2 = a^2
\end{equation}
Exemplo $1$:
Determinar as medidas $a$, $h$, $m$ e $n$ no triângulo $ABC$ abaixo:Da relação $(10)$, temos que:
\begin{equation*}
a^2=b^2+c^2 \Rightarrow a^2=3^2+4^2 \Rightarrow a^2=25 \Rightarrow a=5
\end{equation*}
Da relação $(4)$, temos que:
\begin{equation*}
ah=bc \Rightarrow 5h=3\cdot 4 \Rightarrow h = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Da relação $(2)$, temos que:
\begin{equation*}
c^2=am \Rightarrow 3^2 = 5m \Rightarrow m=\frac{9}{5}
\end{equation*}
Da relação $(5)$, temos que:
\begin{equation*}
b^2=an \Rightarrow 4^2=5n \Rightarrow n=\frac{16}{5}
\end{equation*}
Assim, os valores procurados são: $a=5$, $\displaystyle \frac{12}{5}$, $\displaystyle m=\frac{9}{5}$ e $\displaystyle n=\frac{16}{5}$.
Exemplo $2$:
Calcular a altura relativa à base $\overline{BC}$ do triângulo isósceles abaixo:Como o triângulo é isósceles, altura $h$ divide o segmento $\overline{BC}$ em duas partes iguais. Assim, $\overline{BD}=\overline{CD}=4$. Aplicamos, então, o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo $DAC$:
\begin{equation*}
5^2=4^2+h^2 \Rightarrow h^2=9 \Rightarrow h=3
\end{equation*}
A medida procurada é $h=3$.
Exemplo $3$:
Num triângulo isósceles $ABC$, de lados iguais a $\overline{AB}=\overline{AC}=5$ e $\overline{BC}=8$, calcular a distância entre o ponto médio $M$ do segmento $\overline{BC}$ e um dos catetos.Podemos representar o problema como a imagem abaixo:
Lembrando que a distância de um ponto a uma reta é o segmento que une o ponto à reta sendo perpendicular a ela. Na figura está representada pelo segmento $d=\overline{MN}$.
Primeiramente, vamos encontrar a medida $h$, utilizando-se do fato do triângulo ser isósceles. Assim, o segmento $\overline{CM}=4$. Aplicamos o teorema de Pitágoras:
\begin{equation*}
5^2 = 4^2 + h^2 \Rightarrow h^2 = 9 \Rightarrow h = 3
\end{equation*}
Agora, podemos aplicar a relação $(1)$ no triângulo $ACM$ para encontrarmos o segmento $d$:
\begin{equation*}
5d=3\cdot 4 \Rightarrow 5d = 12 \Rightarrow d = \frac{12}{5}
\end{equation*}
Assim, a medida procurada é $d=12/5$.
Referências:
[1] Matemática Volume Único - Manoel Paiva - Ed. ModernaVeja mais:
Pontos notáveis de um triânguloTeorema da base média de um triângulo
O Teorema de Pitágoras, segundo Euclides
- O Teorema Da Corda Quebrada De Arquimedes
O matemático árabe Abul Raihan al Biruni atribui a Arquimedes, uma elegante proposição geométrica, chamada teorema da corda quebrada o qual enunciaremos abaixo: Teorema (Arquimedes):Se $AB$ e $BC$ compõem uma corda quebrada $ABC$, onde $BC >...
- Razão De Secção
Consideremos três pontos: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$, pertencentes a uma mesma reta $r$, oblíqua aos eixos $x$ e $y$ e ainda sendo $B$ e $C$ distintos. Definição:A razão $k$ das medidas algébricas de $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
- Ângulo De Segmento Ou ângulo Semi-inscrito
Nesta postagem, veremos como determinar o ângulo de segmento e provar que vale a metade do ângulo central. Definição:Ângulo de segmento ou ângulo semi-inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice num ponto da circunferência,...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...