Matemática
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Matemática
Questão 11 ? Professor de Matemática ? SEAP ? Paraná ? 2.013
Ao contrário de um imóvel, que fica mais valorizado comercialmente dia após dia, um veículo começa a perder seu valor no instante em que sai da loja. Alguns modelos perdem menos, outros mais. Segundo um especialista, a média de depreciação de um carro de passeio nacional com até dois anos de vida é de 20% a 35%. Suponha que o preço de um automóvel tenha uma desvalorização média de 19% ao ano sobre o preço do ano anterior. Se P representa o preço inicial (preço de fábrica) e p(t) o preço após t anos, determine o tempo mínimo necessário, em número inteiro de anos, após a saída da fábrica, para que um a automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial. Se necessário, use log 2 ? 0,301 e log 3 ? 0,477.
A) 14 anos.
B) 15 anos.
C) 13 anos.
D) 16 anos.
E) 18 anos.
A) 14 anos.
B) 15 anos.
C) 13 anos.
D) 16 anos.
E) 18 anos.
Solução: (B)
Sendo F o valor inicial, temos:
1º ano: p(1) = F ? 19% de F = F ? (19/100) ? F = (81/100) ? F = 0,81 ? F
2º ano: p(2) = 0,81 ? F ? 19% de (0,81 ? F) ? F= 0,81 ? F ? (19/100) ? (0,81 ? F) = (0,81)2? F
3º ano: p(3) = 0,812 ? F ? 19% de (0,812? F) ? F = 0,812 ? F ? (19/100) ? (0,812 ? F) = (0,81)3 ? F
( ... )
Após t ano temos: p(t) = 0,81t ? F
Para que um automóvel venha a valer menos que 5% do valor inicial, temos:
p(t) ? 0,05 ? F
0,81t ? F ? 0,05 ? F
0,81t ? 0,05
Supondo F ? 0, temos: 0,81t ? F ? 0,05 , a função log10 ? log é crescente então
log (0,81t) ? log (0,05) ? t ? log(0,81) ? log (0,05) ?
? t ? log(81/100) ? log (5/100) ? t ? (log 81 ? log 100) ? log 5 ? log 100 ?
? t ? (log34? log 102) ? log 5 ? log 102?
? t ? (4 ? log 3 ? 2 ? log 10) ? log 5 ? 2 ? log 10
Sabemos que: log 5 = log (10/2) = log 10 ? log 2 = 1 ? log 2
t ? (4 ? log 3 ? 2 ? log 10) ? log 5 ? 2 ? log 10 ?
? t ? (4 ? log 3 ? 2) ? 1 ? log 2 ? 2 ? t ? (1 ? log 2 ? 2) / (4 ? log 3 ? 2) ?
? t ? (1 ? 0,301 ? 2) / (4 ? 0,447 ? 2) ? t ? 14,141 anos
Se t é maior que 14,141 anos logo o primeiro inteiro após este valor é 15, ou seja, em aproximadamente 15 anos o automóvel vale menos que 5% do valor inicial.
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