Matemática
Os autores do volume 1 da coleção A Matemática do Ensino Médio fazem no capítulo 1 diversas e importantes reflexões a respeito do tema Conjuntos. Uma delas trata da série de implicações lógicas envolvidas na determinação das raízes de uma equação.
- Qual é A Probabilidade De Ter Raízes Reais?
PERGUNTA Quem sabe resolver este exercício? Dada a equação do 2° grau x² + bx + 4 = 0, escolhendo-se o número "b" ao acaso no conjunto {?10, ?8, ?6, ?4, ?2, 0, 2, 4, 6, 8} a probabilidade de que a equação formada admita raízes...
- Equação Do Segundo Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais...
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação Completa do segundo grau Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero. Exemplos: 1. 2 x² + 7x + 5 = 0 2. 3 x² + x + 2 = 0 Equação incompleta do segundo grau Uma equação do segundo...
- Equação Completa Do Segundo Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais...
- Condições De Existência De Uma Equação Do 2º Grau Através De Restrições
Uma equação do 2º grau possui algumas condições de existência envolvendo o valor do discriminante. Os coeficientes de uma equação quadrática determinam os possíveis resultados, por exemplo: Caso o valor do discriminante seja maior que zero,...
Matemática
Questão 45 ? Processo de Promoção ? Quadro do Magistério ? Professor de Educação Básica II ? Matemática ? São Paulo
Os autores do volume 1 da coleção A Matemática do Ensino Médio fazem no capítulo 1 diversas e importantes reflexões a respeito do tema Conjuntos. Uma delas trata da série de implicações lógicas envolvidas na determinação das raízes de uma equação.Analise a sequência a seguir, discutida por esses autores. Nessa sequência, as letras P, Q, R e S representam, cada uma, a condição sobre o número real x expressa na igualdade ao lado. Assim, P significa x2+ 1 = 0 etc.
(P) x2 + 1 = 0 (multiplicando-se por x2 ? 1)
(Q) x4 ? 1 = 0
(R) x4 = 1
(S) x ?{?1, 1}
A respeito das implicações P ? Q ? R ? S, é correto concluir que
(A) todas são verdadeiras e pela transitividade conclui-se também que P ? S, logo ?1 e 1 são raízes da equação x2 + 1 = 0.
(B) todas são verdadeiras, mas a implicação P ? S é falsa, logo, ?1 e 1 não são raízes da equação x2 + 1 = 0.
(C) todas são verdadeiras, assim como a implicação P ? S; entretanto ?1 e 1 não são raízes da equação x2 + 1 = 0, pois a recíproca da implicação P ? Q não é verdadeira.
(D) a implicação P ? Q não é verdadeira, o que invalida todos os demais passos, logo, ?1 e 1 não são raízes da equação x2 + 1 = 0.
(E) a implicação R ? S não é verdadeira como também sua recíproca, logo, ?1 e 1 não são raízes da equação x2 + 1 = 0.
Solução: (C)
Podemos observar que ?1 e 1 não são as raízes da equação x2 + 1 = 0, pois, para x = ?1, então (?1)2 + 1 = 0 ? 2 = 0, logo é uma afirmação falsa; e para x = 1, então (1)2 + 1 = 0 ? 2 = 0.
Então a equação x2 + 1 = 0 não apresenta raízes reais, sendo as raízes dessa equação ±?(?1), ou seja, são raízes complexas. Então o conjunto loção para o conjunto dos números reais é o conjunto vazio: { } ou Ø.
P ? Q ? R ? S significa que x satisfaz P então satisfaz Q; xsatisfaz Q então satisfaz R; x satisfaz R então satisfaz S; logo, por transitividade, x satisfaz P então satisfaz S, ou seja, P ?S.
Algo importante que temos que observar é a reciprocidade, ou seja, todos os passos devem ser revertidos: S ? R ? Q ? P, logo, por transitividade S ?P.
Conforme o enunciado:
(P) x2 + 1 = 0 (multiplicando-se por x2 ? 1)
(x2 + 1) · (x2? 1) = 0 · (x2 ? 1)
(x2 + 1) · (x2? 1) = 0
Temos um caso de diferença de dois quadrados: (a2 ? b2) = (a + b) · (a ? b).
(x2 + 1) · (x2? 1) = [(x2)2 ? 1] = (x4 ? 1)
(Q) x4 ? 1 = 0
(R) x4 = 1
(S) x ?{?1, 1}
Logo P ? Q ? R ? S, ou seja, P ?S, ou seja, as possíveis raízes reais de x2 + 1 = 0 pertencem ao conjunto {?1, 1}.
O raciocínio está correto, entretanto se realizar a reciproca S ?R ?Q ?P podemos verificar que Q ?P não pode ser realizada, tratando de uma afirmação falsa, visto que sabemos que o conjunto das soluções reais da equação x2 + 1 = 0 é Ø.
Quando realizamos a reciproca estamos querendo afirmar que {?1, 1} está contido em Ø, portanto é uma afirmação falsa.
O leitor pode estar pensando o porquê de P ?Q ?R ?S, então P ?S, é uma afirmação verdadeira, pois significa as raízes reais de x2 + 1 = 0 pertencem ao conjunto {?1, 1}, se sabemos que x2 + 1 = 0 não apresenta raízes reais?
O conjunto solução das raízes reais da equação x2 + 1 = 0 é Ø e sabemos que este conjunto (Ø) está contido em todos os conjuntos, logo Ø está contido em {?1, 1}.
- Qual é A Probabilidade De Ter Raízes Reais?
PERGUNTA Quem sabe resolver este exercício? Dada a equação do 2° grau x² + bx + 4 = 0, escolhendo-se o número "b" ao acaso no conjunto {?10, ?8, ?6, ?4, ?2, 0, 2, 4, 6, 8} a probabilidade de que a equação formada admita raízes...
- Equação Do Segundo Grau
As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a ≠ 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais...
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação Completa do segundo grau Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero. Exemplos: 1. 2 x² + 7x + 5 = 0 2. 3 x² + x + 2 = 0 Equação incompleta do segundo grau Uma equação do segundo...
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- Condições De Existência De Uma Equação Do 2º Grau Através De Restrições
Uma equação do 2º grau possui algumas condições de existência envolvendo o valor do discriminante. Os coeficientes de uma equação quadrática determinam os possíveis resultados, por exemplo: Caso o valor do discriminante seja maior que zero,...