Matemática

Questão 59 ? Processo de Promoção ? Professor de Matemática ? SEE ? São Paulo ? 2.013

A professora do 9.º ano solicitou a seus alunos que localizassem na reta numérica o ponto correspondente a 2 ?3, utilizando régua e compasso. Todos os alunos tinham bons instrumentos e fizeram os transportes das medidas adequadamente, utilizando de forma correta o compasso.

Analise os procedimentos de cinco de seus alunos.

Ana: construiu um triângulo retângulo de catetos com medidas 1 e 2. Com o compasso, transportou a medida da hipotenusa e marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

André: construiu um retângulo de lados com medidas 1 e 2. Uniu dois vértices opostos, obtendo uma diagonal. Com o compasso, transportou a medida dessa diagonal e marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

Diego: construiu um quadrado de lado com medida 1. Uniu dois vértices opostos, obtendo uma diagonal. Com o compasso, transportou a medida dessa diagonal e marcou duas vezes essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

Júlia: Construiu um triângulo eqüilátero de lado com medida 4 e traçou a altura desse triângulo. Com o compasso, transportou a medida da altura e marcou essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

Lucas: construiu um quadrado de lado com medida 1. Uniu dois vértices opostos, obtendo uma diagonal. Depois, construiu um triângulo retângulo, tendo como um dos catetos a diagonal do quadrado e o outro com medida 1. Com o compasso, transportou a medida da hipotenusa e marcou duas vezes essa distância a partir do número zero da reta, do lado direito.

Os dois alunos que encontraram a medida solicitada foram

(A) Ana e André.

(B) Ana e Diego.

(D) Diego e Júlia.

(E) Júlia e Lucas.

Solução: (E)

Analisando algebricamente cada construção dos alunos:

(1) Ana utilizou a medida da hipotenusa do triângulo construído por ela. A medida desta hipotenusa, segundo o teorema de Pitágoras, é de:

h² = c² + c²

h² = 1² + 2² = 1 + 4 = 5

h = ?5

Sendo ?5 ? 2 ? ?3, Ana não marcou o ponto corretamente na reta numérica.

(2) Ao utilizar a medida da diagonal de um retângulo de lados 1 e 2, André cometeu o mesmo erro que Ana, visto que a diagonal dividiu o retângulo em dois triângulos retângulos congruentes ao triângulo construído por Ana, obtendo assim a medida de ?5.

(3) Diego utilizou a medida da diagonal do quadrado. A diagonal divide o quadrado em dois triângulos isósceles e retângulos, os catetos destes triângulos são formados pelos lados do quadrado, logo os catetos são congruentes e a diagonal forma a hipotenusa destes triângulos. A medida da hipotenusa pode ser determinada pelo teorema de Pitágoras:

h² = c² + c² = 2 ? c²

h² = 2 ? c² = 2 ? (1)²= 2

h = ?2

Observamos que a medida utilizada por Diego 2 ? ?2 ? 2 ? ?3.

(4) Júlia utilizou a medida da altura de um triângulo eqüilátero. A altura do triângulo divide o triangulo eqüilátero em outros dois triângulos retângulos e congruentes, sendo que a altura forma um dos catetos do triângulo retângulo.

Determinamos a altura por meio do teorema de Pitágoras, sendo que a medida da hipotenusa é congruente ao lado do triângulo eqüilátero e a medida de um dos catetos é metade da medida do lado do triangulo original, visto que a altura divide a base do triangulo original em duas medidas congruentes, então:

lado² = (altura)²+ (base / 2)²

4²= (altura)² + (4 / 2)²

16 ? 4 = (altura)²

12 = (altura)² ? ?12 = (altura) ? (altura) = 2 ? ?3

Sendo assim a medida da altura do triangulo eqüilátero com lado medindo 4 é congruente a medida de 2 ? ?3 que deve ser indicada na reta numérica.

(5) A medida da diagonal do quadrado construído por Lucas é congruente ao do quadrado construído por Diego, ou seja, possui medida equivalente a ?2.

Lucas utilizou esta diagonal para formar um dos catetos de um triângulo retângulo cujo outro cateto possui medida 1. Assim podemos determinar a medida da hipotenusa deste triângulo pelo teorema de Pitágoras:

h² = c² + c²

h² = 1² + (?2)² = 1 + 2 = 3

h = ?3

Para localizar o ponto na reta numérica, Lucas utilizou duas vezes esta medida, ou seja, ?3 + ?3 = 2 ? ?3.

Resolução a pedido da Profª. Édnamar.

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