Matemática

Questões da Olimpíada Brasileira de Matemática - Nível 3

(OBM 2005 ? 1ª Fase ? Nível 3)

Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números, mas 7890 não é:

A) 10
B) 13
C) 18
D) 22
E) 25

Resposta:

Os números em questão são 12, 23, 34, 45, ?, 89 (8 números);
123, 234, 345, ?, 789 (7 números);
1234, 2345, ?, 6789 (6 números) e, por fim, 12345, um total de 8 + 7 + 6 + 1 = 22
números.

Resposta correta letra D.

(OBM 2008 ? 1ª Fase ? Nível 3)

Cinco inteiros positivos maiores que um satisfazem as seguintes condições:

Quanto vale a soma ?

A) 9
B) 16
C) 25
D) 36
E) 49

Resposta:

Se são cinco inteiros maiores que um, então , e com isso, a soma de quaisquer quatro deles é pelo menos 8. Observando a equação , onde 5 e 31 são primos, temos que e . Portanto,

Obs.: Note que a = 4, b = 5, c = 7, d = 9 e e = 11 é solução do sistema.

Resposta correta letra D.

(OBM 2010 ? 1ª Fase ? Nível 3)

Quatro números inteiros positivos a < b < c < d são tais que o mdc entre quaisquer dois deles é maior do que 1, mas mdc(a, b, c, d) = 1. Qual é o menor valor possível para d?

A) 10
B) 12
C) 15
D) 30
E) 105

Resposta:

Nenhum dos inteiros em questão é uma potência de um primo p pois caso contrário todos os outros inteiros teriam o fator p em comum e isso não é permitido. Logo d possui pelo menos dois fatores primos distintos. Além disso, um dos números a, b, c, d é ímpar; caso contrário mdc (a, b, c, d) = 2. Assim, como o menor número ímpar com dois fatores primos distintos é 15,
Para d = 15, temos como exemplo a = 6, b = 10, c = 12 e d = 15.

Resposta correta letra C.

É isso aí.
Bons estudos, e qualquer dúvida, é só perguntar.

Abraços,
Ju

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