Matemática
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int (ax+b)^n\ dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C
\end{equation*}
onde $a$, $b$ e $n$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a$ e $n$ $\neq 0$.
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int (ax+b)^n\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $u=ax+b$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int u^n\ du
\end{equation*}
A integral de $u^n$ é $\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1}$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a}\cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}+C
\end{equation*}
Mas $u=ax+b$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C
\end{equation*}
O ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ é o ponto em que $f(x)=0$, ou seja, em que $x$ é o zero da função. Para encontrarmos este valor de $x$, tomamos a equação $(3x-1)^3=0$ e encontramos sua raiz real:
\begin{equation*}
(3x-1)^3 = 0\\
\ \\
(3x-1)(3x-1)(3x-1)=0\\
\ \\
3x-1=0\\
\ \\
3x=1\\
\ \\
x=\frac{1}{3}
\end{equation*}
O valor de $x=1/3$ é a raiz tripla da equação.
Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ nos limites $x=0$ e $x=1/3$, usamos a integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_0^{1/3} (3x-1)^3\ dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int (ax+b)^3 = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}
\end{equation*}
Fazendo $a=3$, $b=-1$ e $n=3$, temos que:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{(3x-1)^{3+1}}{3(3+1)}\right]_0^{1/3} = \left[ \frac{(3x-1)^4}{12}\right] _0^{1/3} = \left[ \frac{0}{12} - \frac{(-1)^4}{12}\right] \\
\ \\
A = -\frac{1}{12} \approx -0,08333
\end{equation*}
O valor negativo encontrado para a área indica apenas que a região calculada estava sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x) = (3x-1)^3$, no intervalo $[0,1/3]$, vale aproximadamente $0,08333$ unidades de área.
O ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ é o ponto em que $f(x)=0$, ou seja, em que $x$ é o zero da função. Para encontrarmos este valor de $x$, tomamos a equação $(2x+7)^5=0$ e encontramos sua raiz real:
\begin{equation*}
(2x+7)^5=0\\
\ \\
(2x+7)(2x+7)(2x+7)(2x+7)(2x+7)=0\\
\ \\
2x+7=0\\
\ \\
2x=-7\\
\ \\
x=-\frac{7}{2}
\end{equation*}
Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ nos limites $\displaystyle x=-\frac{7}{2}$ e $x=0$, usamos a integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_{-7/2}^0 (2x+7)^5\ dx = \left[ \frac{(2x+7)^6}{12} \right]_{-7/2}^0\\
\ \\
A = \frac{7^6}{12} - \frac{0}{12} = \frac{117.649}{12} \approx 9.804
\end{equation*}
A área compreendida entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x) = (2x+7)^5$, no intervalo $[-7/2 , 0]$, vale aproximadamente $9.804$ unidades de área.
Integração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ Dx$
Nesta postagem vermos que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C \end{equation*} onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$. [Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$] Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
Matemática
Resolução da integral $\displaystyle \int (ax+b)^n\ dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
\begin{equation*}
\int (ax+b)^n\ dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C
\end{equation*}
onde $a$, $b$ e $n$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a$ e $n$ $\neq 0$.
[Família de funções integráveis na forma $(ax+b)^n$]
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int (ax+b)^n\ dx
\end{equation*}
Para o integrando, fazemos a substituição $u=ax+b$. Assim, $du=a\ dx$ e $\displaystyle dx = \frac{1}{a}du$:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a} \int u^n\ du
\end{equation*}
A integral de $u^n$ é $\displaystyle \frac{u^{n+1}}{n+1}$. Assim:
\begin{equation*}
I = \frac{1}{a}\cdot \frac{u^{n+1}}{n+1}+C
\end{equation*}
Mas $u=ax+b$, logo:
\begin{equation*}
I = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C
\end{equation*}
Exemplo $1$:
Encontrar a área sob o eixo dos $x$ da função $f(x)=(3x-1)^3$, compreendida no intervalo de $x=0$ até o ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$.O ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ é o ponto em que $f(x)=0$, ou seja, em que $x$ é o zero da função. Para encontrarmos este valor de $x$, tomamos a equação $(3x-1)^3=0$ e encontramos sua raiz real:
\begin{equation*}
(3x-1)^3 = 0\\
\ \\
(3x-1)(3x-1)(3x-1)=0\\
\ \\
3x-1=0\\
\ \\
3x=1\\
\ \\
x=\frac{1}{3}
\end{equation*}
O valor de $x=1/3$ é a raiz tripla da equação.
Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ nos limites $x=0$ e $x=1/3$, usamos a integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_0^{1/3} (3x-1)^3\ dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int (ax+b)^3 = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}
\end{equation*}
Fazendo $a=3$, $b=-1$ e $n=3$, temos que:
\begin{equation*}
A = \left[ \frac{(3x-1)^{3+1}}{3(3+1)}\right]_0^{1/3} = \left[ \frac{(3x-1)^4}{12}\right] _0^{1/3} = \left[ \frac{0}{12} - \frac{(-1)^4}{12}\right] \\
\ \\
A = -\frac{1}{12} \approx -0,08333
\end{equation*}
O valor negativo encontrado para a área indica apenas que a região calculada estava sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x) = (3x-1)^3$, no intervalo $[0,1/3]$, vale aproximadamente $0,08333$ unidades de área.
Exemplo $2$:
Encontrar a área entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x)=(2x+7)^5$, compreendida no intervalo em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ e $x=0$.O ponto em que $f(x)$ corta o eixo dos $x$ é o ponto em que $f(x)=0$, ou seja, em que $x$ é o zero da função. Para encontrarmos este valor de $x$, tomamos a equação $(2x+7)^5=0$ e encontramos sua raiz real:
\begin{equation*}
(2x+7)^5=0\\
\ \\
(2x+7)(2x+7)(2x+7)(2x+7)(2x+7)=0\\
\ \\
2x+7=0\\
\ \\
2x=-7\\
\ \\
x=-\frac{7}{2}
\end{equation*}
Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$ nos limites $\displaystyle x=-\frac{7}{2}$ e $x=0$, usamos a integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_{-7/2}^0 (2x+7)^5\ dx = \left[ \frac{(2x+7)^6}{12} \right]_{-7/2}^0\\
\ \\
A = \frac{7^6}{12} - \frac{0}{12} = \frac{117.649}{12} \approx 9.804
\end{equation*}
A área compreendida entre o eixo dos $x$ e a curva $f(x) = (2x+7)^5$, no intervalo $[-7/2 , 0]$, vale aproximadamente $9.804$ unidades de área.
Veja mais:
Lista de resolução de integraisIntegração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ Dx$
Nesta postagem vermos que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C \end{equation*} onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$. [Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$] Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...