Matemática

Sobre o Produto Escalar

Por: Prof. Paulo Sérgio, Blog Fatos Matemáticos

O Produto Escalar dos vetores $[;\vec{u}= (u_1,u_2,u_3);]$ e $[;\vec{v}=(v_1,v_2,v_3);]$ , denotado por $[;\vec{u}\cdot \vec{v};]$ é definido por:

$[;\vec{u}\cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 \quad \quad (1);]$

Segue desta definição que $[;\vec{u}\cdot {v} = \vec{v}\cdot \vec{u};]$ . Além disso, se $[;\theta;]$ é o ângulo entre dois vetores $[;\vec{u};]$ e $[;\vec{v};]$ , então através da Lei dos Cossenos é fácil mostrar que:

$[;\vec{u}\cdot \vec{v} = |\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\cos \theta;]$ com $[;0 \leq \theta \leq \pi;]$ rad [;(2);]

Vejamos agora como podemos relacionar o produto escalar com o módulo de um vetor. Para ver isso, suponhamos que $[;\vec{u} = \vec{v};]$ na definição acima. Assim,

$[;\vec{u}\cdot \vec{u} = u_{1}^2 + u_{2}^2 + u_{3}^2 = |\vec{u}|^2;]$ [;(3);]

Onde segue que o módulo de um vetor é igual a raíz quadrada do produto escalar deste vetor por ele mesmo.

Vejamos uma aplicação elementar do produto escalar que é deduzir a seguinte fórmula trigonométrica:

$[;\cos(\beta - \alpha) = \cos \beta cos \alpha + \sin \beta \sin \alpha;]$

Na notação acima, $[;\vec{u} = (\cos \alpha,\ \sin \alpha);]$ e $[;\vec{v} = (\cos \beta, \ \sin \beta);]$ e pela propriedade [;(3);]

é fácil ver que esses vetores são unitários. Assim, por [;(1);]

, temos:

$[;\vec{u}\cdot \vec{v} = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta;]$ [;(4);]

e pela fórmula [;(2);]

$[;\vec{u}\cdot \vec{v} = cos(\beta - \alpha);]$ [;(5);]

segue o resultado. Usando o fato que cosseno é uma função par, que o seno é uma função ímpar e que o cosseno do complementar de um ângulo é igual ao seno desse ângulo e vice-versa, obtém-se as demais identidades trigonométricas.

Existem outras aplicações importantes relacionada com o produto escalar, tais como o cálculo do trabalho de uma força constante e em problemas que aparece o vetor projeção.

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