Teorema da Bissetriz Interna
Este é um importante teorema da geometria plana, onde conseguimos determinar segmentos proporcionais em um triângulo. Mas o que é bissetriz?
Definição: Bissetriz é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de duas retas, concorrentes dividindo um ângulo em dois ângulos congruentes.
Teorema 1: Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes.
Em outras palavras, temos:
O lado BC é dividido em dois segmentos aditivos, pois DB + DC = BC e consequentemente x + y = a.
Por hipótese temos que a bissetriz interna do triângulo ABC nos fornece uma relação de proporcionalidade:
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Demonstração:
Conduzindo por C um segmento paralelo à bissetriz, determinamos um ponto E na interceptação com o prolongamento do lado BA.
Sejam os ângulos:
Como os segmentos CE e AD são paralelos, temos que os ângulos α e γ são congruentes por serem correspondentes e os ângulos β e δ são congruente por serem alternos internos:
Desta forma, o triângulo ACE é isósceles cuja base é o segmento CE. Assim:
Considerando as retas que passam por BC e BE como retas transversais de um feixe de retas paralelas, aplicamos o Teorema de Tales, obtendo:
Referências:
[1] Fundamentos de Matemática Elementar V9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce e Nicolau Pompeo
[2] Elementos de Geometria e Desenho Geométrico V1 – Putnoki
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