Matemática
Sabemos que a Terra executa alguns movimentos no decorrer de sua órbita ao redor do Sol. Vamos destacar os principais: Rotação e Translação.
Vamos determinar as velocidades em que a Terra desenvolve em cada um desses movimentos.
Para calcularmos a velocidade de rotação, vamos considerar:
$1)$ A Terra sendo um esferóide homogêneo;
$2)$ O raio equatorial sendo $6.378km$;
$3)$ Um dia equivalendo a $24$ horas.
Primeiramente, vamos determinar a comprimento da circunferência equatorial:
\begin{equation*}
C_E = 2\pi r\\
C_E = 2\pi \cdot 6.378km\\
C_E = 40.074,16km
\end{equation*}
A velocidade média é definida pelo quociente da variação do espaço pelo tempo:
\begin{equation*}
Vm=\frac{\Delta x}{\Delta t}
\end{equation*}
onde $\Delta x$ é o comprimento da circunferência equatorial e $\Delta t$ é o tempo em que a Terra leva para completar uma volta de $360^\circ$ em torno de seu eixo. Então temos:
\begin{equation*}
Vm=\frac{40.074,16}{24} = 1.669,76 km/h
\end{equation*}
Como $1$ hora equivale a $3.600s$, podemos verificar a velocidade em $m/s$:
\begin{equation*}
Vm \approx 463m/s
\end{equation*}
Vemos que a velocidade de rotação é muito grande, mas porque não percebemos seu deslocamento? A Terra desenvolve uma velocidade uniforme e justamente por estarmos “presos” a ela devido à força gravitacional, giramos na mesma velocidade, ou seja, fazemos parte de um só sistema. Como não existe nenhum corpo referencial próximo à Terra, não percebemos sua rotação. Podemos fazer uma analogia: imaginemos um veículo que se desloca numa velocidade constante. Se estivermos dentro deste veículo, não perceberemos o movimento, pois adquirimos a mesma velocidade. Mas é fácil saber que o veículo se movimenta pelo simples fato de olhar pela janela vendo a paisagem se deslocando. Com a Terra isso não acontece porque não há nenhum corpo tão próximo que se possa usar como referencial.
Como o movimento de rotação é circular é interessante determinarmos sua velocidade angular.
Considere um ponto $P$ que se encontra em $\theta _0$ no instante inicial $t_0 = 0$. Num outro instante qualquer $t$, o ponto $P$ encontra-se em $\theta$, então o ponto deslocou-se de $\theta _0$ até $\theta$, ou seja:
\begin{equation*}
\Delta \theta = \theta - \theta _0
\end{equation*}
num intervalo de tempo:
\begin{equation*}
\Delta t = t - t_0
\end{equation*}
Podemos definir a velocidade angular como:
\begin{equation*}
\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} rad/s
\end{equation*}
Para uma partícula que realiza movimento circular, notamos que esta partícula percorre uma distância linear dada pelo comprimento do arco:
\begin{equation*}
\Delta x = r \cdot \Delta \theta
\end{equation*}
O deslocamento do arco $\Delta x$ ocorre num intervalo de tempo $\Delta t$, então a velocidade linear $v$ pode ser escrita como:
\begin{equation*}
v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{r \cdot \Delta \theta}{\Delta t} = r \cdot \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = r \cdot \omega
\end{equation*}
Então, a velocidade angular da rotação da Terra será:
\begin{equation*}
\omega = \frac{v}{t} rad/s\\
\omega = \frac{1.669.760.000m}{463 m/s}\\
\omega = 7,259 \times 10^{-5} rad/s
\end{equation*}
Kepler $(1571 – 1630)$ foi um grande conhecedor de matemática e dedicou a maior parte de sua vida à análise das posições dos planetas. Descobriu que os planetas descrevem órbitas elípticas e não circulares como até então era reconhecida. Essa foi sua maior contribuição à ciência que possibilitou um avanço incrível na Astronomia mediante às suas $3$ Leis (vejam mais sobre as Leis de Kepler aqui):
A Terra desenvolve sua órbita devido à atração gravitacional exercida pelo Sol. Se observarmos a figura acima, veremos que a velocidade orbital é tanto maior quanto mais próxima do Sol, pois segundo a Lei da Gravitação de Newton, a Força de Atração é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre dois corpos. Para não entrarmos em cálculos mais complexos, vamos determinar a velocidade média orbital considerando:
$1)$ A órbita da Terra como sendo uma circunferência;
$2)$ O raio orbital médio sendo $150.000.000 km$;
$3)$ Um ano como equivalendo a $365$ dias, ou $8.760$ horas.
Vamos determinar o comprimento da circunferência orbital:
\begin{equation*}
C_o = 2\pi R\\
C_o = 2\pi \cdot 150.000.000\\
C_o = 942.477.796 km
\end{equation*}
Tomamos a fórmula para o cálculo da velocidade média:
\begin{equation*}
Vm = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\end{equation*}
onde $\Delta x$ é o comprimento da circunferência orbital e $\Delta t$ é o tempo em que a Terra leva para completar uma volta de $360^\circ$ em torno do Sol. Então temos:
\begin{equation*}
Vm = \frac{942.477.796 km}{8.760 h}=107.588,79 km/h\\
Vm = 29.885,775 m/s
\end{equation*}
Vamos calcular agora a velocidade angular da Terra em sua órbita:
\begin{equation*}
\omega = \frac{v}{r}rad/s\\
\omega = \frac{29.885,775}{150.000.000.000}=1,992385 \times 10^{-7} rad/s
\end{equation*}
Transformação de km/h em m/s
O Movimento de Precessão da Terra
- O Problema Inverso
Em Física é comum problemas em que conhecemos a velocidade instantânea $v(t)$ entre um da instante de tempo $t_a$ e um instante final $t_b$ e termos que descobrir o espaço percorrido. Este problema é chamado de problema inverso ao estudarmos movimento...
- Os Pontos De Brocard (parte 3)
Vimos na primeira postagem desta série sobre os Pontos de Brocard as definições e suas construções geométricas. Na segunda postagem, vimos algumas propriedades importantes, teoremas e corolários. Nesta terceira parte, veremos outros teoremas igualmente...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
- Demonstração Do Limite Fundamental Exponencial
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos,...
- Demonstração Da Derivada Da Função Produto
A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira: Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$...
Matemática
As Velocidades da Terra
Sabemos que a Terra executa alguns movimentos no decorrer de sua órbita ao redor do Sol. Vamos destacar os principais: Rotação e Translação.
Vamos determinar as velocidades em que a Terra desenvolve em cada um desses movimentos.
Movimento de Rotação
A Terra gira em torno de seu eixo, inclinado cerca de $23,5^\circ$ em relação ao plano de sua órbita, com a duração de $1$ dia, cerca de $24$ horas.Para calcularmos a velocidade de rotação, vamos considerar:
$1)$ A Terra sendo um esferóide homogêneo;
$2)$ O raio equatorial sendo $6.378km$;
$3)$ Um dia equivalendo a $24$ horas.
Primeiramente, vamos determinar a comprimento da circunferência equatorial:
\begin{equation*}
C_E = 2\pi r\\
C_E = 2\pi \cdot 6.378km\\
C_E = 40.074,16km
\end{equation*}
A velocidade média é definida pelo quociente da variação do espaço pelo tempo:
\begin{equation*}
Vm=\frac{\Delta x}{\Delta t}
\end{equation*}
onde $\Delta x$ é o comprimento da circunferência equatorial e $\Delta t$ é o tempo em que a Terra leva para completar uma volta de $360^\circ$ em torno de seu eixo. Então temos:
\begin{equation*}
Vm=\frac{40.074,16}{24} = 1.669,76 km/h
\end{equation*}
Como $1$ hora equivale a $3.600s$, podemos verificar a velocidade em $m/s$:
\begin{equation*}
Vm \approx 463m/s
\end{equation*}
Vemos que a velocidade de rotação é muito grande, mas porque não percebemos seu deslocamento? A Terra desenvolve uma velocidade uniforme e justamente por estarmos “presos” a ela devido à força gravitacional, giramos na mesma velocidade, ou seja, fazemos parte de um só sistema. Como não existe nenhum corpo referencial próximo à Terra, não percebemos sua rotação. Podemos fazer uma analogia: imaginemos um veículo que se desloca numa velocidade constante. Se estivermos dentro deste veículo, não perceberemos o movimento, pois adquirimos a mesma velocidade. Mas é fácil saber que o veículo se movimenta pelo simples fato de olhar pela janela vendo a paisagem se deslocando. Com a Terra isso não acontece porque não há nenhum corpo tão próximo que se possa usar como referencial.
Como o movimento de rotação é circular é interessante determinarmos sua velocidade angular.
Considere um ponto $P$ que se encontra em $\theta _0$ no instante inicial $t_0 = 0$. Num outro instante qualquer $t$, o ponto $P$ encontra-se em $\theta$, então o ponto deslocou-se de $\theta _0$ até $\theta$, ou seja:
\begin{equation*}
\Delta \theta = \theta - \theta _0
\end{equation*}
num intervalo de tempo:
\begin{equation*}
\Delta t = t - t_0
\end{equation*}
Podemos definir a velocidade angular como:
\begin{equation*}
\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} rad/s
\end{equation*}
Para uma partícula que realiza movimento circular, notamos que esta partícula percorre uma distância linear dada pelo comprimento do arco:
\begin{equation*}
\Delta x = r \cdot \Delta \theta
\end{equation*}
O deslocamento do arco $\Delta x$ ocorre num intervalo de tempo $\Delta t$, então a velocidade linear $v$ pode ser escrita como:
\begin{equation*}
v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{r \cdot \Delta \theta}{\Delta t} = r \cdot \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = r \cdot \omega
\end{equation*}
Então, a velocidade angular da rotação da Terra será:
\begin{equation*}
\omega = \frac{v}{t} rad/s\\
\omega = \frac{1.669.760.000m}{463 m/s}\\
\omega = 7,259 \times 10^{-5} rad/s
\end{equation*}
Movimento de Translação
É movimento da Terra em sua órbita elíptica em torno do Sol, com duração de $1$ ano, cerca de $365$ dias.Kepler $(1571 – 1630)$ foi um grande conhecedor de matemática e dedicou a maior parte de sua vida à análise das posições dos planetas. Descobriu que os planetas descrevem órbitas elípticas e não circulares como até então era reconhecida. Essa foi sua maior contribuição à ciência que possibilitou um avanço incrível na Astronomia mediante às suas $3$ Leis (vejam mais sobre as Leis de Kepler aqui):
A Terra desenvolve sua órbita devido à atração gravitacional exercida pelo Sol. Se observarmos a figura acima, veremos que a velocidade orbital é tanto maior quanto mais próxima do Sol, pois segundo a Lei da Gravitação de Newton, a Força de Atração é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre dois corpos. Para não entrarmos em cálculos mais complexos, vamos determinar a velocidade média orbital considerando:
$1)$ A órbita da Terra como sendo uma circunferência;
$2)$ O raio orbital médio sendo $150.000.000 km$;
$3)$ Um ano como equivalendo a $365$ dias, ou $8.760$ horas.
Vamos determinar o comprimento da circunferência orbital:
\begin{equation*}
C_o = 2\pi R\\
C_o = 2\pi \cdot 150.000.000\\
C_o = 942.477.796 km
\end{equation*}
Tomamos a fórmula para o cálculo da velocidade média:
\begin{equation*}
Vm = \frac{\Delta x}{\Delta t}
\end{equation*}
onde $\Delta x$ é o comprimento da circunferência orbital e $\Delta t$ é o tempo em que a Terra leva para completar uma volta de $360^\circ$ em torno do Sol. Então temos:
\begin{equation*}
Vm = \frac{942.477.796 km}{8.760 h}=107.588,79 km/h\\
Vm = 29.885,775 m/s
\end{equation*}
Vamos calcular agora a velocidade angular da Terra em sua órbita:
\begin{equation*}
\omega = \frac{v}{r}rad/s\\
\omega = \frac{29.885,775}{150.000.000.000}=1,992385 \times 10^{-7} rad/s
\end{equation*}
Veja mais:
Velocidade AngularTransformação de km/h em m/s
O Movimento de Precessão da Terra
- O Problema Inverso
Em Física é comum problemas em que conhecemos a velocidade instantânea $v(t)$ entre um da instante de tempo $t_a$ e um instante final $t_b$ e termos que descobrir o espaço percorrido. Este problema é chamado de problema inverso ao estudarmos movimento...
- Os Pontos De Brocard (parte 3)
Vimos na primeira postagem desta série sobre os Pontos de Brocard as definições e suas construções geométricas. Na segunda postagem, vimos algumas propriedades importantes, teoremas e corolários. Nesta terceira parte, veremos outros teoremas igualmente...
- Demonstração Da Derivada Da Função Exponencial
Neste artigo, veremos como encontrar a derivada da função exponencial. Para isso utilizaremos limites e o conceito de derivada. Vamos demonstrar que, se $f(x)=e^x$, então sua derivada será $f '(x)=e^x$. Demonstração:Primeiramente, vamos provar...
- Demonstração Do Limite Fundamental Exponencial
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação por carbono, circuitos elétricos,...
- Demonstração Da Derivada Da Função Produto
A derivada de uma função pode ser representada geometricamente da seguinte maneira: Se $\Delta x$ for tão pequeno quanto quisermos, a reta que passa pelos pontos $[(x,f(x)),(x+\Delta x, f(x+\Delta x))]$, se confunde com a reta tangente no ponto $x$...