Matemática
Consideremos uma função $$f(z) = f(x + iy) = u + iv $$ sendo $$u = u(x, y)$$ e $$v = v(x, y)$$. Se existe a derivada de $$f$$ em um ponto $$z_0 = (x_0 + y_0)$$, $$f(z_0)$$, então as derivadas parciais das funções $$u$$ e $$v$$ em $$z_0$$ satisfazem as condições $$u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0)$$ e $$u_y(x_0,y_0) = -v_x(x_0,y_0)$$.
$$u_x(x,y)=v_y(x,y)$$ e $$u_y(x,y)=-v_x(x,y)$$ são chamadas condições ou equações de Cauchy-Riemann [C?R] e são usadas para decidir se uma função complexa $$f$$é derivável em um ponto. Caso uma destas condições não seja satisfeita em um ponto , é suficiente para afirmarmos que $$f$$ não é derivável (e portanto, não é analítica) neste ponto.
As condições de Cauchy-Riemann nos diz se a função $$f$$ é derivável ou não em um ponto, mas não nos informa quem é a derivada neste ponto. Para isto enunciamos o teorema.
Teorema:
Seja a função $$f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y)$$ com as derivadas parciais $$u_x, u_y, v_x e v_y$$ funções contínuas. Então $$f$$ é derivável em $$z_0 = (x_0,y_0)$$ se, e somente se $$u_x = v_y$$ e $$u_y = -v_x$$ em $$z_0$$ e $$f(z_0)= u_x(z_0) + iv_x(z_0)$$
Fonte - PUCRS - Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.
- Teorema Do Valor Médio
Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto...
- G. F. B. Riemann
Conferencista afirma: plano é redondo G. F. B. Riemann filho de um pastor luterano, foi educado em condições modestas. Era uma pessoa tímida e fisicamente frágil.Teve boa instrução em Berlim e depois em Göttingen onde obteve seu doutorado com...
- Cálculo De Derivadas
Olá, na matéria de hoje vou mostrar a definição e o modo prático para se calcular a derivada de um função explícita (y ou f(x) isolado). No próximo artigo, vou mostrar algumas propriedades da diferenciação. - Definição: OBS: Para usar a...
- Derivadas
Derivadas A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada...
- Derivadas
Derivadas I Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado...
Matemática
Condições de Cauchy-Riemann
Consideremos uma função $$f(z) = f(x + iy) = u + iv $$ sendo $$u = u(x, y)$$ e $$v = v(x, y)$$. Se existe a derivada de $$f$$ em um ponto $$z_0 = (x_0 + y_0)$$, $$f(z_0)$$, então as derivadas parciais das funções $$u$$ e $$v$$ em $$z_0$$ satisfazem as condições $$u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0)$$ e $$u_y(x_0,y_0) = -v_x(x_0,y_0)$$.
$$u_x(x,y)=v_y(x,y)$$ e $$u_y(x,y)=-v_x(x,y)$$ são chamadas condições ou equações de Cauchy-Riemann [C?R] e são usadas para decidir se uma função complexa $$f$$é derivável em um ponto. Caso uma destas condições não seja satisfeita em um ponto , é suficiente para afirmarmos que $$f$$ não é derivável (e portanto, não é analítica) neste ponto.
As condições de Cauchy-Riemann nos diz se a função $$f$$ é derivável ou não em um ponto, mas não nos informa quem é a derivada neste ponto. Para isto enunciamos o teorema.
Teorema:
Seja a função $$f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y)$$ com as derivadas parciais $$u_x, u_y, v_x e v_y$$ funções contínuas. Então $$f$$ é derivável em $$z_0 = (x_0,y_0)$$ se, e somente se $$u_x = v_y$$ e $$u_y = -v_x$$ em $$z_0$$ e $$f(z_0)= u_x(z_0) + iv_x(z_0)$$
Fonte - PUCRS - Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul.
- Teorema Do Valor Médio
Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto...
- G. F. B. Riemann
Conferencista afirma: plano é redondo G. F. B. Riemann filho de um pastor luterano, foi educado em condições modestas. Era uma pessoa tímida e fisicamente frágil.Teve boa instrução em Berlim e depois em Göttingen onde obteve seu doutorado com...
- Cálculo De Derivadas
Olá, na matéria de hoje vou mostrar a definição e o modo prático para se calcular a derivada de um função explícita (y ou f(x) isolado). No próximo artigo, vou mostrar algumas propriedades da diferenciação. - Definição: OBS: Para usar a...
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Derivadas A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada...
- Derivadas
Derivadas I Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de números reais. Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado...