Matemática
O Conjunto de Sólidos Geométricos em Plástico é um aparato pedagógico desenvolvido pela empresa MMP Materiais Pedagógicos para que o professor possa explorar em sala de aula suas formas, reconhecendo seus elementos através de visualização, podendo ainda trabalhar na dedução de fórmulas, como as de áreas e volume.
Os sólidos são construídos em plástico colorido e possuem um bom acabamento, com vértices e arestas bem definidas, possibilitando uma boa manipulação.
Os sólidos que compõem o kit são:
$1)$ Pirâmide de base triangular
$2)$ Pirâmide de base quadrada
$3)$ Pirâmide de base retangular
$4)$ Pirâmide de base hexagonal
$5)$ Pirâmide de base circular (cone)
$6)$ Prisma triangular
$7)$ Prisma retangular (paralelepípedo)
$8)$ Prisma hexagonal
$9)$ Hexaedro (cubo)
$10)$ Cilindro
$11)$ Esfera
$a)$ dois polígonos não estão num mesmo plano;
$b)$ cada lado do polígono não está em mais do que dois polígonos;
$c)$ havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;
$d)$ O plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).
Exemplos de poliedros: cubo, paralelepípedo, tetraedro.
As superfícies poliédricas limitadas convexas que têm contorno são chamadas de abertas; as que não têm contorno são chamadas fechadas.
Exemplos de não-poliedros: cilindro, cone, esfera.
$a)$ todas as faces têm o mesmo número de arestas;
$b)$ todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas;
$c)$ a relação de Euler $V+F=A+2$ é verdadeira, onde $V$ é a quantidade de vértices, $A$ á quantidade de arestas e $F$ é a quantidade de faces do poliedro.
\begin{equation}
V+F=A+2
\end{equation}
onde $V$ é a quantidade de vértices, $F$ é a quantidade de faces e $A$ é a quantidade de arestas do poliedro.
Esta relação é válida para qualquer poliedro e pode-se utilizar os Sólidos Geométricos em Plástico em sala de aula para que os alunos encontrem esta relação em cada sólido.
O professor pode fornecer uma tabela contendo o nome dos poliedros e solicitar aos alunos que observem os sólidos e completem a tabela:
[Tabela 1 - a ser preenchida]
[Tabela 2 - preenchida]
A fim de testar o aluno, pode-se incluir nesta tabela o cone, o cilindro e a esfera, esperando que o aluno os identifique como não-poliedros e notem que falha a relação de Euler, pois:
$a)$ a esfera possui apenas uma superfície;
$b)$ o cone possui uma superfície curva (área lateral) e uma plana (base);
$c)$ o cilindro possui uma superfície curva (área lateral) e duas planas (bases).
Primeiramente encontramos a altura $a$ do triângulo equilátero que compõe a base em função do lado $\ell$, fazendo uso do teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
\ell ^2=a^2+\frac{\ell ^2}{4} \Longrightarrow a=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}
\end{equation}
E para a área da base:
\begin{equation}
A_T = \frac{\ell \cdot a}{2} = \frac{\ell ^2 \sqrt{3}}{4}
\end{equation}
Para os sólidos de bases retangulares, a área da base é dada pelo produto do comprimento pela profundidade, ou seja pelo produto dos lados adjacentes:
\begin{equation}
A_R = c \cdot p
\end{equation}
Para os sólidos de base hexagonal, deve-se notar que o polígono que forma a base é um hexágono regular. Isto implica que é formado por seis triângulos equiláteros:
\begin{equation}
A_H = 6\cdot \frac{\ell \cdot a}{2}
\end{equation}
Substituindo a relação $(2)$ na relação acima, obtém-se:
\begin{equation}
A_H=\frac{3 \ell^2 \sqrt{3}}{2}
\end{equation}
Para os sólidos com base circular (cone e cilindro), o professor pode fornecer o valor do raio $r$ do círculo ou pedir para os alunos medirem com um régua o seu diâmetro.
A área do círculo é dada por:
\begin{equation}
A_C=\pi r^2
\end{equation}
Aqui o professor pode relembrar que $\pi$ é uma constante irracional obtida pela razão do comprimento $C$ da circunferência pelo seu diâmetro $D$ e que independe do tamanho do raio:
\begin{equation}
\pi = \frac{C}{D}
\end{equation}
No caso das pirâmides, o aluno deve atentar-se que a altura do sólido não é a altura do triângulo que forma a face lateral (apótema da pirâmide). Se for necessário o professor deve orientar, deduzindo juntamente com o aluno uma forma de encontrar o apótema, para que tenha condições de calcular a área lateral.
Para os prismas, cada face é formada por um retângulo e a altura do sólido é a altura da face. A área da face é dada pelo produto do comprimento pela altura:
\begin{equation}
A_F=c\cdot a
\end{equation}
Para as pirâmides, cada face é formada por triângulos isósceles e a altura do sólido é diferente do apótema da pirâmide. Uma forma de encontrar o apótema da pirâmide é desenhar uma pirâmide e observar o triângulo retângulo formado. Basta então aplicar o Teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
a^2=H^2+\left(\frac{\ell}{2}\right) ^2
\end{equation}
onde $a$ é o apótam da pirâmide, $H$ é a altura do sólido e $\ell$ é a medida da aresta da base, logo $\ell /2$ é o apótema da base.
Desta forma, a área lateral é calculada utilizando a fórmula para a área de triângulos, mas o aluno deve estar atento a cada elemento do sólido para que não haja confusão nas substituições.
Primeiramente deve-se calcular o apótema da pirâmide:
\begin{equation}
a^2=H^2+\frac{\ell ^2}{4}\\
a^2=\frac{4H^2 +\ell ^2}{4}\\
a=\frac{\sqrt{4H^2+\ell ^2}}{2}
\end{equation}
Agora calculamos a área da face:
\begin{equation}
A_F=\frac{\ell \cdot a}{2}=\frac{\displaystyle \ell \cdot \frac{\sqrt{4H^2+\ell ^2}}{2}}{2}=\frac{\ell \sqrt{4H^2 +\ell ^2}}{4}
\end{equation}
Para calcular a área lateral, basta multiplicar a área da face encontrada pela quantidade de faces do sólido.
\begin{equation}
V_{\text{prisma}} = A_{\text{base}} \times \text{altura}\\
V_{\text{prisma}} = A_b \cdot H
\end{equation}
A fórmula acima é válida para qualquer prisma, seja de base triangular, retangular, hexagonal ou circular.
O volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura do sólido:
\begin{equation}
V_{\text{pirâmide}} = \frac{1}{3}\cdot A_{\text{base}} \times \text{altura}\\
V_{\text{pirâmide}} = \frac{A_b \cdot H}{3}
\end{equation}
Esta fórmula é válida para qualquer pirâmide regular, seja de base triangular, quadrada, hexagonal ou outra qualquer.
\begin{equation}
A_{\text{esfera}} = 4\pi r^2
\end{equation}
E para seu volume, usamos:
\begin{equation}
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\end{equation}
Uma forma de obter o volume da esfera é através do Princípio de Cavalieri, que diz:
Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com mesma altura têm o mesmo volume se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.
Pode-se ainda encontrar a área da esfera a partir de seu volume utilizando apenas conceitos básicos de Geometria, dividindo a superfície da esfera em infinitos polígonos, sendo estes, bases de pirâmides com vértice no centro da esfera.
O Princípio de Cavalieri
O Volume da Pirâmide
- Pirâmides
Pirâmides Sejam uma região poligonal convexa A1A2A3...An, contida em um plano α. Consideramos todos os segmentos de reta que possuem em extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo V: A união de todos esses segmentos de reta é um poliedro...
- Pirâmides
Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
- O Princípio De Cavalieri
Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em $1.598$. Foi aluno de Galileu e atuou como professor da Universidade de Bolonha de $1.629$ até $1.647$, ano de sua morte. A grande contribuição de Cavalieri à Matemática é o tratado Geometria indivisibilibus...
Matemática
Conjunto de Sólidos Geométricos em Plástico da MMP Materiais Pedagógicos
O Conjunto de Sólidos Geométricos em Plástico é um aparato pedagógico desenvolvido pela empresa MMP Materiais Pedagógicos para que o professor possa explorar em sala de aula suas formas, reconhecendo seus elementos através de visualização, podendo ainda trabalhar na dedução de fórmulas, como as de áreas e volume.
O material:
O Conjunto é composto por $11$ sólidos geométricos, acondicionados em uma maleta plástica.Os sólidos são construídos em plástico colorido e possuem um bom acabamento, com vértices e arestas bem definidas, possibilitando uma boa manipulação.
Os sólidos que compõem o kit são:
$1)$ Pirâmide de base triangular
$2)$ Pirâmide de base quadrada
$3)$ Pirâmide de base retangular
$4)$ Pirâmide de base hexagonal
$5)$ Pirâmide de base circular (cone)
$6)$ Prisma triangular
$7)$ Prisma retangular (paralelepípedo)
$8)$ Prisma hexagonal
$9)$ Hexaedro (cubo)
$10)$ Cilindro
$11)$ Esfera
Definições:
Antes de iniciar alguma atividade com os sólidos, talvez seja importante relembrar algumas definições.Definição $1$: Sólido geométrico
Um sólido geométrico é uma região do espaço limitada por uma superfície fechada. Essas regiões são classificadas como poliedros e não-poliedros. Os poliedros, por sua vez, são divididos como côncavos e convexos, que é o nosso objetivo.Definição $2$: Poliedros
Uma superfície poliédrica limitada convexa é o conjunto de um número finito de polígonos planos e convexos, tais que:$a)$ dois polígonos não estão num mesmo plano;
$b)$ cada lado do polígono não está em mais do que dois polígonos;
$c)$ havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou não, chamada contorno;
$d)$ O plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço (condição de convexidade).
Exemplos de poliedros: cubo, paralelepípedo, tetraedro.
As superfícies poliédricas limitadas convexas que têm contorno são chamadas de abertas; as que não têm contorno são chamadas fechadas.
Definição $3$: Não-poliedros
Uma superfície não-poliédrica limitada convexa é o conjunto de um número finito de polígonos, sendo que pelo menos um polígono não seja plano.Exemplos de não-poliedros: cilindro, cone, esfera.
Definição $4$: Poliedro regular (Poliedros de Platão)
Um poliedro é chamado de Poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as condições:$a)$ todas as faces têm o mesmo número de arestas;
$b)$ todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas;
$c)$ a relação de Euler $V+F=A+2$ é verdadeira, onde $V$ é a quantidade de vértices, $A$ á quantidade de arestas e $F$ é a quantidade de faces do poliedro.
Relação de Euler:
O matemático suiço Leonhard Euler $(1707-1783)$ foi fantástico e uma de suas maravilhas é o que hoje conhecemos como Relação de Euler:\begin{equation}
V+F=A+2
\end{equation}
onde $V$ é a quantidade de vértices, $F$ é a quantidade de faces e $A$ é a quantidade de arestas do poliedro.
Esta relação é válida para qualquer poliedro e pode-se utilizar os Sólidos Geométricos em Plástico em sala de aula para que os alunos encontrem esta relação em cada sólido.
O professor pode fornecer uma tabela contendo o nome dos poliedros e solicitar aos alunos que observem os sólidos e completem a tabela:
A fim de testar o aluno, pode-se incluir nesta tabela o cone, o cilindro e a esfera, esperando que o aluno os identifique como não-poliedros e notem que falha a relação de Euler, pois:
$a)$ a esfera possui apenas uma superfície;
$b)$ o cone possui uma superfície curva (área lateral) e uma plana (base);
$c)$ o cilindro possui uma superfície curva (área lateral) e duas planas (bases).
Cálculo de áreas:
O professor pode usar os conceitos da Geometria Plana para trabalhar com os alunos o cálculo da área da base, das faces e da área lateral dos sólidos geométricos.Área da base
Para os sólidos de base triangular é importante observar que a base é formada por um triângulo equilátero. Com isso, basta aplicar a fórmula trabalhada em sala.Primeiramente encontramos a altura $a$ do triângulo equilátero que compõe a base em função do lado $\ell$, fazendo uso do teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
\ell ^2=a^2+\frac{\ell ^2}{4} \Longrightarrow a=\frac{\ell \sqrt{3}}{2}
\end{equation}
E para a área da base:
\begin{equation}
A_T = \frac{\ell \cdot a}{2} = \frac{\ell ^2 \sqrt{3}}{4}
\end{equation}
Para os sólidos de bases retangulares, a área da base é dada pelo produto do comprimento pela profundidade, ou seja pelo produto dos lados adjacentes:
\begin{equation}
A_R = c \cdot p
\end{equation}
Para os sólidos de base hexagonal, deve-se notar que o polígono que forma a base é um hexágono regular. Isto implica que é formado por seis triângulos equiláteros:
\begin{equation}
A_H = 6\cdot \frac{\ell \cdot a}{2}
\end{equation}
Substituindo a relação $(2)$ na relação acima, obtém-se:
\begin{equation}
A_H=\frac{3 \ell^2 \sqrt{3}}{2}
\end{equation}
Para os sólidos com base circular (cone e cilindro), o professor pode fornecer o valor do raio $r$ do círculo ou pedir para os alunos medirem com um régua o seu diâmetro.
A área do círculo é dada por:
\begin{equation}
A_C=\pi r^2
\end{equation}
Aqui o professor pode relembrar que $\pi$ é uma constante irracional obtida pela razão do comprimento $C$ da circunferência pelo seu diâmetro $D$ e que independe do tamanho do raio:
\begin{equation}
\pi = \frac{C}{D}
\end{equation}
Área lateral:
Outro aspecto importante para o professor trabalhar com este material é a área lateral dos sólidos, pedido aos alunos que calculem a área de uma das faces e posteriormente, a área lateral multiplicando a área de uma face pela quantidade de faces que o sólido possui.No caso das pirâmides, o aluno deve atentar-se que a altura do sólido não é a altura do triângulo que forma a face lateral (apótema da pirâmide). Se for necessário o professor deve orientar, deduzindo juntamente com o aluno uma forma de encontrar o apótema, para que tenha condições de calcular a área lateral.
Para os prismas, cada face é formada por um retângulo e a altura do sólido é a altura da face. A área da face é dada pelo produto do comprimento pela altura:
\begin{equation}
A_F=c\cdot a
\end{equation}
Para as pirâmides, cada face é formada por triângulos isósceles e a altura do sólido é diferente do apótema da pirâmide. Uma forma de encontrar o apótema da pirâmide é desenhar uma pirâmide e observar o triângulo retângulo formado. Basta então aplicar o Teorema de Pitágoras:
\begin{equation}
a^2=H^2+\left(\frac{\ell}{2}\right) ^2
\end{equation}
onde $a$ é o apótam da pirâmide, $H$ é a altura do sólido e $\ell$ é a medida da aresta da base, logo $\ell /2$ é o apótema da base.
Desta forma, a área lateral é calculada utilizando a fórmula para a área de triângulos, mas o aluno deve estar atento a cada elemento do sólido para que não haja confusão nas substituições.
Primeiramente deve-se calcular o apótema da pirâmide:
\begin{equation}
a^2=H^2+\frac{\ell ^2}{4}\\
a^2=\frac{4H^2 +\ell ^2}{4}\\
a=\frac{\sqrt{4H^2+\ell ^2}}{2}
\end{equation}
Agora calculamos a área da face:
\begin{equation}
A_F=\frac{\ell \cdot a}{2}=\frac{\displaystyle \ell \cdot \frac{\sqrt{4H^2+\ell ^2}}{2}}{2}=\frac{\ell \sqrt{4H^2 +\ell ^2}}{4}
\end{equation}
Para calcular a área lateral, basta multiplicar a área da face encontrada pela quantidade de faces do sólido.
Volume
O volume de um prisma é mais fácil de ser calculado, pois é o produto da área da base pela altura do sólido:\begin{equation}
V_{\text{prisma}} = A_{\text{base}} \times \text{altura}\\
V_{\text{prisma}} = A_b \cdot H
\end{equation}
A fórmula acima é válida para qualquer prisma, seja de base triangular, retangular, hexagonal ou circular.
O volume de uma pirâmide é a terça parte do produto da área da base pela altura do sólido:
\begin{equation}
V_{\text{pirâmide}} = \frac{1}{3}\cdot A_{\text{base}} \times \text{altura}\\
V_{\text{pirâmide}} = \frac{A_b \cdot H}{3}
\end{equation}
Esta fórmula é válida para qualquer pirâmide regular, seja de base triangular, quadrada, hexagonal ou outra qualquer.
Esfera
A esfera é um caso à parte, pois as fórmulas acima não se aplicam a ela. Para sua área, usamos a fórmula:\begin{equation}
A_{\text{esfera}} = 4\pi r^2
\end{equation}
E para seu volume, usamos:
\begin{equation}
V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3} \pi r^3
\end{equation}
Uma forma de obter o volume da esfera é através do Princípio de Cavalieri, que diz:
Se dois sólidos são tais que todo plano secante a eles e paralelo a um plano dado determina nos sólidos secções cuja razão é constante, então a razão entre os volumes desses sólidos é a mesma constante. Em outras palavras: dois sólidos com mesma altura têm o mesmo volume se seccionados por um plano paralelo ao plano onde estão assentados, geram áreas iguais.
Pode-se ainda encontrar a área da esfera a partir de seu volume utilizando apenas conceitos básicos de Geometria, dividindo a superfície da esfera em infinitos polígonos, sendo estes, bases de pirâmides com vértice no centro da esfera.
Veja mais:
A Prancha TrigonométricaO Princípio de Cavalieri
O Volume da Pirâmide
- Pirâmides
Pirâmides Sejam uma região poligonal convexa A1A2A3...An, contida em um plano α. Consideramos todos os segmentos de reta que possuem em extremo pertencente à região poligonal e o outro extremo V: A união de todos esses segmentos de reta é um poliedro...
- Pirâmides
Dada uma região poligonal de n vértices e um ponto V fora da região (outro plano), ao traçarmos segmentos de retas entre os vértices da região poligonal e o ponto V, construímos uma pirâmide que será classificada de acordo com o número de lados...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
- O Princípio De Cavalieri
Bonaventura Cavalieri nasceu em Milão em $1.598$. Foi aluno de Galileu e atuou como professor da Universidade de Bolonha de $1.629$ até $1.647$, ano de sua morte. A grande contribuição de Cavalieri à Matemática é o tratado Geometria indivisibilibus...