Construções Geométricas de Tangentes Com Régua e Compasso (Parte 2)
Nesta segunda parte sobre construção de tangentes, vamos resolver três problemas clássicos sobre traçados de tangentes utilizando régua e compasso.
1) São dados dois pontos O e P e uma distância d. Conduzir uma reta por P que diste d de O.
[Figura 01]
Este problema nos diz que uma reta r, que passa pelo ponto P, tangencia uma circunferência λ de centro em O a uma distância d. Descrevemos uma circunferência de raio d:
[Figura 02]
Vejam que agora a construção recai no segundo exemplo da primeira parte sobre construções de tangentes. Unindo O e P e tomando a mediatriz de OP, que passa pelos pontos A e B, determinamos C na intersecção com OP:
[Figura 03]
Com centro em C e raio OC, traçamos a circunferência κ que intercepta λ nos pontos D e E:
[Figura 04]
As retas que passam por PD e PE são as tangentes pedidas. Note que este problema admite duas soluções.
Justificativa: As retas tangentes a uma circunferência traçadas de um ponto externo possuem a propriedade de serem perpendiculares ao raio pelos pontos de tangência. Por construção OP é o diâmetro da circunferência κ e o triângulo ODP é retângulo em D, pois está inscrito na semicircunferência OAP.
Outra propriedade é que os segmentos das tangentes a uma circunferência, conduzidas por um mesmo ponto, são congruentes:
2) São dadas uma reta t tangente a uma circunferência λ, o ponto T de tangência e um ponto A sobre t. Traçar por A a segunda tangente a λ.
[Figura 05]
Com centro em A e raio AT¸ descreva um arco cortando a circunferência λ em T’.
[Figura 06]
A reta t’ que passa por T’ é a tangente pedida.
Uma propriedade desta construção é que os segmentos das tangentes a uma circunferência, conduzidas por um mesmo ponto, são congruentes:
3) De um triângulo ABC são dadas a reta t1, que tangencia a circunferência inscrita, o ponto T de tangência, os vértices B e C e o raio r da circunferência. Construir o triângulo.
[Figura 07]
Trace a perpendicular a t1 em T.
[Figura 08]
Com raio igual a r e centro em T, descreva um arco interceptando a perpendicular em O, que será o centro da circunferência inscrita; Com raio r e centro em O, descreva a circunferência inscrita.
[Figura 09]
Com abertura do compasso igual a BT, descreva um arco interceptando a circunferência inscrita em D e com abertura do compasso igual a CT descreva um arco interceptando a circunferência inscrita em E. Agora, trace as tangentes t2 e t3 à circunferência em D e em E, respectivamente, passando por B e por C. O Ponto de intersecção entre as duas tangentes será o vértice A do triângulo pedido.
[Figura 10]
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