Matemática

Demonstração de Funções Trigonométricas do semi-arco

Em alguns livros ou mesmo na internet, tratam estas funções como Divisão de Arcos ou como Arco Metade. Decidi chamar de semi-arco, pelo fato desta demonstração ser de uma arco dividido por 2. Vejamos:

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Da relação trigonométrica fundamental [veja aqui], temos que:

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Para um ângulo qualquer, até mesmo para a metade de θ, a relação (1) continua válida e podemos representar como:

clip_image006

Podemos expressar θ como:

clip_image008

E podemos expressar cos(θ) como:

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Mas, como:

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[Veja esta demonstração aqui]

Logo termos:

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Da relação (2), temos:

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Substituindo (6) em (5), obtemos:

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Sabemos pela relação (4) que:

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Da relação trigonométrica fundamental, dada em (2), temos:

clip_image016[1]

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Substituindo a relação (9) em (8), obtemos:

clip_image038

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A tangente de um ângulo é dada pela divisão entre o seno e o cosseno deste ângulo, representamos por:

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Então, para a tangente do semi-arco, teremos:

clip_image002[6]

Substituindo os valores já determinados para o seno e o cosseno de semi-arcos dados em (7) e (10) na relação (11), obtemos:

clip_image002[4]

clip_image004

clip_image006

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