Matemática

EDO: variáveis separáveis - exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 5

PROBLEMA:

Sabe-se que a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes no instante $$ t $$. Se a população dobrou em cinco anos, quanto tempo levará para triplicar?

SOLUÇÃO:

Segundo o enunciado, ?a população de uma comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes no instante $$ t $$?. E escrevendo esta afirmação matematicamente temos:

$$ \frac{dP}{dt} = K \cdot P $$

Onde,

$$ P= Poula\c{c}\~ao \; no \; instante \; t$$

$$ K = Constante \; de \; Proporcionalidade $$

$$ \frac{dP}{dt} = Taxa \; de \; Varia\c{c}\~a o $$

Separando a Equação acima (equação diferencial separável) temos:

$$ \frac{dP}{P} = K \cdot dt $$

Realizando o processo de Integração em ambos os lados:

$$ \ln(P) = K \cdot t + C $$

Utilizando a propriedade da exponencial, podemos reescrever:

$$ P = e^{K \cdot t+C} $$

E pela propriedade das potências, reescrevemos:

$$ P = e^{K \cdot t} \cdot e^C $$

Levando em consideração que $$ e^C $$ não deixa de ser uma constante qualquer, para facilitar vamos chamá-la de $$ D $$.

Portanto:

$$ P = e^{K \cdot t} \cdot D $$

Como sabemos, o que está variando nesta função é o $$ t $$ (tempo), então podemos escrever a função da seguinte forma:

$$ P (t) = e^{K \cdot t} \cdot D $$

Agora vamos supor que no tempo zero (tempo inicial) tem-se a População Inicial, que vamos chamá-la de $$ P_i $$:

Para $$ t = 0 $$ tem-se $$ P_i $$

Ou seja:

$$ P_i = P (o) = e^{K \cdot 0} \cdot D $$

Como todo número (diferente de zero) elevado a zero é igual a $$ 1 $$, então temos:

$$ P_i = D $$

Substituindo $$ D $$ por $$ P_i $$, temos a função que descreve o crescimento da população:

$$ P (t) = P_i \cdot e^{K \cdot t} $$

O enunciando do exercicio está afirmando que "Se a população dobrou em cinco anos...", ou seja:

$$ P (5) = 2 \cdot P_i $$

Portanto:

$$ 2 \cdot P_i = P_i \cdot e^{5K} $$

$$ 2 = e^{5 \cdot K} $$

Pela propriedade dos logaritmos:

$$ \ln(2) = 5 \cdot K $$

$$ 0,6937 = 5 \cdot K $$

$$ K = \frac {0,6937}{5} $$

$$ K \cong 0,1387 $$

Agora vamos responder a pergunta do exercício:

Quanto tempo levará para triplicar a população?

Triplicar a populção é o mesmo que escrever $$ 3 \cdot P_i $$.

E afirmando que no tempo $$ t $$ (ainda não sabemos, é justamente o que procuramos) a populção é igual a $$ 3 \cdot P_i $$, temos:

$$ P (t) = 3 \cdot P_i $$

Sabemos que a equação que descreve a situação do exerício é:

$$ P (t) = P_i \cdot e^{K \cdot t} $$

Substituindo $$ P (t) $$ por $$ 3 \cdot P_i $$, e substituindo também o valor de $$ K $$, temos:

$$ 3 \cdot P_i = P_i \cdot e^{0,1387 \cdot t} $$

"Eliminando" o $$ ``P_i" $$ e aplicando a propriedade logarítmica:

$$ \ln(3) = 0,1387 \cdot t $$

$$ 1,0986 = 0,1387 \cdot t $$

$$ t = \frac{1,0986}{0,1387} $$

$$ t \cong 8 $$

Portanto, a população levará $$ 8 $$ anos para triplicar.

Referências: notas de aula. Imagem extraída daqui.

Erros podem ser relatados aqui.

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