Matemática
Temos que a equação da circunferência se apresenta na forma reduzida ou na forma normal. A forma reduzida é expressa por (x – xC)² + (y – yC)² = r², onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, r o raio e x e y coordenadas de um ponto P posicional da circunferência. A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes.
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução.
Comparação
Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, temos:
–2a = –2
a = 1
–2b = 8
2b = –8
b = –4
a2 + b2 – r2 = 8
12 + (–4)2 – r2 = 8
1 + 16 – r2 = 8
17 – r2 = 8
– r2 = 8 – 17
– r2 = – 9
r = 3
Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3.
Redução
Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.
Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:
1º passo
É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8
2º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1
3º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = – 8 +1 + 16
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9
Comparando com a equação reduzida.
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9
(x + a)2 + (y + b)2 = r2
Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.
- Equação Reduzida Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
- Equação Normal Da Circunferência
A circunferência é uma figura plana que pode ser representada no plano cartesiano, utilizando os estudos relacionados à Geometria Analítica, responsável pelo estabelecimento de relações entre a álgebra e a geometria. A circunferência pode ser...
- Equação Reduzida Da Circunferência
Equação reduzida da circunferênciaMarcelo Rigonatto CircunferênciaDo ponto de vista analítico, circunferência é o conjunto dos pontos P(x, y) do plano que equidistam (apresentam a mesma distância) de um ponto O. Essa distância...
- Circunferências
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br www.accbarrosogestar.wordpress.com...
- Circunferências
CIRCUNFERÊNCIA É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r. O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a...
Matemática
Equação Normal da Circunferência
Temos que a equação da circunferência se apresenta na forma reduzida ou na forma normal. A forma reduzida é expressa por (x – xC)² + (y – yC)² = r², onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, r o raio e x e y coordenadas de um ponto P posicional da circunferência. A equação normal da circunferência é obtida através da eliminação dos parênteses e redução dos termos semelhantes.
(x – a)² + (y – b)² = r²
x² – 2xa + a² + y² – 2yb + b² – r² = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0
Essa equação é mais uma forma de equacionar uma circunferência e a partir dela determinar o centro e o raio que a equação está representando, isso poderá ser feito utilizando dois métodos diferentes: comparação e redução.
Comparação
Dada a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, comparado-a com a equação x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0, temos:
–2a = –2
a = 1
–2b = 8
2b = –8
b = –4
a2 + b2 – r2 = 8
12 + (–4)2 – r2 = 8
1 + 16 – r2 = 8
17 – r2 = 8
– r2 = 8 – 17
– r2 = – 9
r = 3
Portanto, a circunferência de equação igual a x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0 terá centro igual a C(1,– 4) e raio igual a r = 3.
Redução
Consiste em transformar a equação normal em reduzida e assim identificar o centro e o raio.
Pegando como exemplo a equação x2 + y2 – 2x + 8y + 8 = 0, iremos transformá-la em uma equação reduzida seguindo os passos abaixo:
1º passo
É preciso agrupar os termos em x e os termos em y, e isolar o termo independente.
(x2 – 2x) + (y2 + 8y) = – 8
2º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em x um quadrado perfeito.
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y) = – 8 +1
3º passo
Somar aos dois membros da igualdade um termo que torne o agrupamento em y um quadrado perfeito.
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = – 8 +1 + 16
(x2 – 2x +1) + (y2 + 8y + 16) = 9
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9
Comparando com a equação reduzida.
(x – 1)2 + (y + 4)2 = 9
(x + a)2 + (y + b)2 = r2
Portanto, o centro dessa equação da circunferência será C (1, –4) e R = 3.
- Equação Reduzida Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
- Equação Normal Da Circunferência
A circunferência é uma figura plana que pode ser representada no plano cartesiano, utilizando os estudos relacionados à Geometria Analítica, responsável pelo estabelecimento de relações entre a álgebra e a geometria. A circunferência pode ser...
- Equação Reduzida Da Circunferência
Equação reduzida da circunferênciaMarcelo Rigonatto CircunferênciaDo ponto de vista analítico, circunferência é o conjunto dos pontos P(x, y) do plano que equidistam (apresentam a mesma distância) de um ponto O. Essa distância...
- Circunferências
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br www.accbarrosogestar.wordpress.com...
- Circunferências
CIRCUNFERÊNCIA É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r. O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a...