Matemática
A geometria analítica estuda as formas geométricas do ponto de vista da álgebra, utilizando equações para analisar o comportamento e os elementos dessas figuras. A reta é uma das formas geométricas estudas pela geometria analítica, possuindo três tipos de equações: equação geral, equação reduzida e equação paramétrica.
As equações paramétricas são duas equações que representam a mesma reta utilizando uma incógnita t. Essa incógnita recebe o nome de parâmetro e faz a ligação entre as duas equações que representam a mesma reta.
As equações x = 5 + 2t e y = 7 + t são as equações paramétricas de uma reta s. Para obter a equação geral dessa reta, basta isolar t em uma das equações e substituir na outra. Vejamos como isso é realizado.
As equações paramétricas são:
x = 5 + 2t (I)
y = 7 + t (II)
Isolando t na equação (II), obtemos t = y – 7. Vamos substituir o valor de t na equação (I).
x = 5 + 2(y – 7)
x = 5 + 2y – 14
x – 2y + 9 = 0 → equação geral da reta s.
Exemplo 1. Determine a equação geral da reta de equações paramétricas abaixo.
x = 8 – 3t
y = 1 – t
Solução: Devemos isolar t em uma das equações e substituir na outra. Assim, segue que:
x = 8 – 3t (I)
y = 1 – t (II)
Isolando t na equação (II), obtemos:
y – 1 = – t
ou
t = – y + 1
Substituindo na equação (II), teremos:
x = 8 – 3(– y + 1)
x = 8 + 3y – 3
x = 5 + 3y
x – 3y – 5 = 0 → equação geral da reta
Nos dois exemplos feitos obtemos a equação geral da reta através das equações paramétricas. O contrário também pode ser feito, ou seja, utilizar a equação geral da reta para obter a equação paramétrica.
Exemplo 2. Determine as equações paramétricas da reta r de equação geral 2x – y -15 = 0.
Solução: Para determinar as equações paramétricas da reta r a partir da equação geral, devemos proceder da seguinte forma:
Podemos fazer:
Assim, as equações paramétricas da reta são:
x = t + 7 e y = 2t – 1
- Equação Da Reta
Equação da reta Teorema “A toda reta r do plano cartesiano associa-se uma equação do tipo ax + bx + c = 0, com a e b não simultaneamente nulos, que é denominada equação geral da reta.” Determinação da equação geral Considerando os...
- Equação Da Reta
A equação reduzida da reta deixa explícito o coeficiente angular e o ponto que a reta intercepta o eixo Oy. Essa nova equação da reta foi determinada a partir da equação fundamental da reta que é determinada por um ponto (x0, y0) pertencente a...
- Equação Reduzida Da Reta
Equação reduzida da retaMarcelo Rigonatto Equação reduzidaConsidere ax + by + c = 0 como sendo a equação geral de uma reta não vertical. Isolando y na equação geral obtemos: Fazendo Teremos: y = mx + q → que é a equação...
- Equação Geral Da Reta No Plano
Equação Geral da Reta no PlanoMarcos Noé Reta no planoAs equações na forma ax + by + c = 0 são expressões representativas de retas do plano. Os coeficientes a, b e c são números reais constantes, considerando a e b valores...
- Equação Geral Da Reta
Equação geral da retaMarcelo Rigonatto Equação geralVamos considerar uma reta s que passe pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa mesma reta s. Como os pontos A, B e P pertencem a uma mesma...
Matemática
Equações paramétricas da reta
Equações paramétricas da reta
Marcelo Rigonatto Equações da reta
As equações paramétricas são duas equações que representam a mesma reta utilizando uma incógnita t. Essa incógnita recebe o nome de parâmetro e faz a ligação entre as duas equações que representam a mesma reta.
As equações x = 5 + 2t e y = 7 + t são as equações paramétricas de uma reta s. Para obter a equação geral dessa reta, basta isolar t em uma das equações e substituir na outra. Vejamos como isso é realizado.
As equações paramétricas são:
x = 5 + 2t (I)
y = 7 + t (II)
Isolando t na equação (II), obtemos t = y – 7. Vamos substituir o valor de t na equação (I).
x = 5 + 2(y – 7)
x = 5 + 2y – 14
x – 2y + 9 = 0 → equação geral da reta s.
Exemplo 1. Determine a equação geral da reta de equações paramétricas abaixo.
x = 8 – 3t
y = 1 – t
Solução: Devemos isolar t em uma das equações e substituir na outra. Assim, segue que:
x = 8 – 3t (I)
y = 1 – t (II)
Isolando t na equação (II), obtemos:
y – 1 = – t
ou
t = – y + 1
Substituindo na equação (II), teremos:
x = 8 – 3(– y + 1)
x = 8 + 3y – 3
x = 5 + 3y
x – 3y – 5 = 0 → equação geral da reta
Nos dois exemplos feitos obtemos a equação geral da reta através das equações paramétricas. O contrário também pode ser feito, ou seja, utilizar a equação geral da reta para obter a equação paramétrica.
Exemplo 2. Determine as equações paramétricas da reta r de equação geral 2x – y -15 = 0.
Solução: Para determinar as equações paramétricas da reta r a partir da equação geral, devemos proceder da seguinte forma:
Podemos fazer:
Assim, as equações paramétricas da reta são:
x = t + 7 e y = 2t – 1
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Equação da reta Teorema “A toda reta r do plano cartesiano associa-se uma equação do tipo ax + bx + c = 0, com a e b não simultaneamente nulos, que é denominada equação geral da reta.” Determinação da equação geral Considerando os...
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A equação reduzida da reta deixa explícito o coeficiente angular e o ponto que a reta intercepta o eixo Oy. Essa nova equação da reta foi determinada a partir da equação fundamental da reta que é determinada por um ponto (x0, y0) pertencente a...
- Equação Reduzida Da Reta
Equação reduzida da retaMarcelo Rigonatto Equação reduzidaConsidere ax + by + c = 0 como sendo a equação geral de uma reta não vertical. Isolando y na equação geral obtemos: Fazendo Teremos: y = mx + q → que é a equação...
- Equação Geral Da Reta No Plano
Equação Geral da Reta no PlanoMarcos Noé Reta no planoAs equações na forma ax + by + c = 0 são expressões representativas de retas do plano. Os coeficientes a, b e c são números reais constantes, considerando a e b valores...
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Equação geral da retaMarcelo Rigonatto Equação geralVamos considerar uma reta s que passe pelos pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), sendo P(x, y) um ponto qualquer dessa mesma reta s. Como os pontos A, B e P pertencem a uma mesma...