Fórmulas de Prostaférese
As Fórmulas de Prostaférese também são conhecidas como Fórmulas de Transformação em Produto.
Existem situações em que podemos obter o valor numérico de uma determinada expressão aplicando cálculos diretos. Outras vezes precisamos transforma-la, ou fatora-la para sua resolução.
Veremos agora algumas transformações de soma e diferença de funções trigonométricas em produto. Com isso, teremos recursos necessários para adaptar algumas fórmulas trigonométricas ao cálculo de logaritmos e realizar fatorações, que são úteis na resolução de equações trigonométricas.
Consideremos as Identidades Trigonométricas abaixo:
I – Seno da Soma de Arcos:
sen(a+b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
II – Seno da Diferença de Arcos:
sen(a-b) = sen(a) cos(b) – sen(b) cos(a)
III – Cosseno da Soma de Arcos:
cos(a+b) = cos(a) cos(b) – sen(a) sen(b)
IV – Cosseno da Diferença de Arcos:
cos(a-b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)
Se combinarmos adequadamente essas identidades trigonométricas, obteremos as chamadas Fórmulas de Werner. Então, se fizermos: I + II, I – II, III + IV e III – IV
Obteremos:
I + II
sen(a+b) + sen(a-b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) + sena(a) cos(b) – sen(b) cos(a)
sen(a+b) + sen(a-b) = 2 sen(a) cos(b)
I – II
sen(a+b) - sen(a-b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) - sena(a) cos(b) – sen(b) cos(a)
sen(a+b) - sen(a-b) = 2 sen(b) cos(a)
III + IV
cos(a+b) + cos(a-b) = cos(a) cos(b) – sen(a) sen(b) + cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)
cos(a+b) + cos(a-b) = 2 cos(a) cos(b)
III – IV
cos(a+b) - cos(a-b) = cos(a) cos(b) – sen(a) sen(b) - cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b)
cos(a+b) - cos(a-b) = -2 sen(a) sen(b)
Se fizermos uma mudança de variável nestas fórmulas de Werner, onde:
- (a+b) = p
- (a-b) = q
obtermos o sistema abaixo:
Resolução do sistema:
Somando membro a membro, obtemos:
![clip_image002[4]](matematica/matematica-57ac2746dd1ae.gif?imgmax=800 "clip_image002[4]")
Substituindo o valor de a na primeira equação, temos:
![clip_image002[6]](matematica/matematica-57ac2746e02f6.gif?imgmax=800 "clip_image002[6]")
![clip_image004[4]](matematica/matematica-57ac2746e19e8.gif?imgmax=800 "clip_image004[4]")
Se substituirmos os valores de a e b nas Fórmulas de Werner, temos:
![clip_image002[10]](matematica/matematica-57ac2746e5c04.gif?imgmax=800 "clip_image002[10]")
![clip_image004[9]](matematica/matematica-57ac2746e70aa.gif?imgmax=800 "clip_image004[9]")
![clip_image002[12]](matematica/matematica-57ac2746e84c5.gif?imgmax=800 "clip_image002[12]")
![clip_image004[11]](matematica/matematica-57ac2746e98e4.gif?imgmax=800 "clip_image004[11]")
![clip_image002[14]](matematica/matematica-57ac2746eacf1.gif?imgmax=800 "clip_image002[14]")
![clip_image004[13]](matematica/matematica-57ac2746ec08f.gif?imgmax=800 "clip_image004[13]")
![clip_image002[16]](matematica/matematica-57ac2746ed3cf.gif?imgmax=800 "clip_image002[16]")
![clip_image004[15]](matematica/matematica-57ac2746ee64d.gif?imgmax=800 "clip_image004[15]")
Que são as Fórmulas de Transformação em Produto, de soma e diferença de senos e cossenos, também conhecidas como Fórmulas de Prostaférese.
Das fórmulas de prostaférese, podemos deduzir as fórmulas em relação às tangentes:
![clip_image002[18]](matematica/matematica-57ac2746ef83b.gif?imgmax=800 "clip_image002[18]")
![clip_image004[17]](matematica/matematica-57ac2746f0ac7.gif?imgmax=800 "clip_image004[17]")
![clip_image006[4]](matematica/matematica-57ac2746f1ce1.gif?imgmax=800 "clip_image006[4]")
![clip_image002[20]](matematica/matematica-57ac2746f2e9d.gif?imgmax=800 "clip_image002[20]")
![clip_image004[19]](matematica/matematica-57ac2746f3fb7.gif?imgmax=800 "clip_image004[19]")
![clip_image006[6]](matematica/matematica-57ac274700eaf.gif?imgmax=800 "clip_image006[6]")
Veja mais demonstrações aqui!
- Equações Do Tipo Sen X = A
Equações trigonométricas são igualdades que evolvem uma ou mais funções trigonométricas de arcos incógnitos. Para a resolução de equações trigonométricas não existe um processo único, o que devemos fazer é tentar reduzi-las a equações...
- Seno, Cosseno E Tangente Do Arco Duplo
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com...
- Adição E Subtração De Arcos
Adição e subtração de arcos 1. Vimos em Trigonometria V, a dedução da fórmula do cosseno da diferença de dois arcos. Apresentaremos a seguir, as demais fórmulas da adição e subtração de arcos sem as deduções, lembrando que essas deduções...
- Trigonométria
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DOS ÂNGULOS DE 30º, 45º E 60º Podemos resumir os valores para o seno, co-seno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º em uma única tabela. Tais valores serão usados freqüentemente daqui em diante. Aplicação Um...
- Demonstração De Funções Trigonométricas Do Arco Duplo
Já demonstramos neste blog a adição e subtração entre dois arcos [veja a demonstração aqui]. Vamos, agora, estudar as fórmulas para o arco duplo. sen(2a) Podemos reescrever sen(2a) como sen(a + a). Pelo seno da soma entre dois arcos, temos:...