Matemática

Integrais

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Integrais

Integrais indefinidas

Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida.

Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x).

Exemplos:

Se f(x) = , então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x⁴ é .
Se f(x) = x³, então f'(x) = 3x² = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x² é f(x) = x³.
Se f(x) = x³ + 4, então f'(x) = 3x² = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x² é f(x) = x³ + 4.

Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x³ quando x³+4 são integrais indefinidas para 3x². A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x² é x³+C, onde C é uma constante real.
Propriedades das integrais indefinidas
São imediatas as seguintes propriedades:
1ª.

, ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais.
2ª.

, ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando.
3ª.

, ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função.
Integração por substituição

Seja expressão

Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou

, ou ainda, du = f'(x) dx, vem:

admitindo que se conhece

O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada.
INTEGRAIS DEFINIDAS

Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo:

onde:

a é o limite inferior de integração;
b é o limite superior de integração;
f(x) é o integrando.

representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para

representa a área entre as curvas, para

Integrais

A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida.

De forma geral, para

, a área limitada por f(x) e o eixo x,

é dada por

, que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de largura

e cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base:

Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x₀=a, x₁, x₂,...,x_n=b, obtemos os intervalos (a, x₁), (x₁, x₂), ...., (x_n-1, b). Em cada intervalo (x_i-1, x_i) tomemos um ponto arbitrário h_i_.
Seja

De acordo com a figura, os retângulos formados têm área

Então, a soma da áreas de todos os retângulos é:

que nos fornece um valor aproximado da área considerada.

Aumentando o número n de subintervalos

, tal que

tenda a zero

e o número n de subintervalos tenda a infinito

, temos as bases superiores dos retângulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada.

Simbolicamente, escrevemos:

Exemplo:

Seja a área entre y = x e o eixo x, para

Esta área é dada por:

Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Dividindo o intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um terá largura

Sejam, então, os pontos

Como f(x) = x, então

CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA

O método que temos para o cálculo da área ou da integral definida, no caso, é ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores.

Para tal, consideremos a área das figuras quando movemos a extremidade direita:

Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma. Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área entre

ou seja:

ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) é antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0)

Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a).

Portanto:

ou ainda,

Exemplos:

Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e áreas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas.

PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA

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- Resolução Da Integral $\small \displaystyle \int \frac{x}{ax+b} Dx$
Nesta postagem, veremos que: \begin{equation*} \int \frac{x}{ax+b}dx = \frac{1}{a^2} \left(ax -b \ln \left|ax+b \right| \right)+C \end{equation*} onde $a$ e $b$ são constantes $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I...

- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ Dx$
Nesta postagem vermos que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C \end{equation*} onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$. [Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$] Seja a integral:...

- Resolução Da Integral $\displaystyle \int (ax+b)^n\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int (ax+b)^n\ dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $n$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a$ e $n$ $\neq 0$. [Família de funções integráveis na forma $(ax+b)^n$] Seja a integral:...

- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{x \pm 1}{x \mp 1}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{x \pm 1}{x \mp 1}\ dx = x \pm \ln |x \mp 1 |+C \end{equation*} onde $x \in \mathbb{R}$ tal que $x \neq \pm 1$. Vamos separar o integrando em duas funções distintas e mostrar o processo...

- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...

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