Matemática

Limites

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso

Colégio Estadual Dinah Gonçalves

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Limites

Noção intuitiva de limite
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y:

x	y = 2x + 1
1,5	4
1,3	3,6
1,1	3,2
1,05	3,1
1,02	3,04
1,01	3,02

x	y = 2x + 1
0,5	2
0,7	2,4
0,9	2,8
0,95	2,9
0,98	2,96
0,99	2,98

Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x

1), y tende para 3 (y

3), ou seja:

Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3.
Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que x assuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x)

3), dizemos que o limite de f(x) quando x

1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3.
De forma geral, escrevemos:

se, quando x se aproxima de a (x

a), f(x) se aproxima de b (f(x)

b).

Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos:

Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x

1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x1. E, no caso, y

3. Logo, o limite de f(x) é 3.
Escrevemos:

Se g: IR

IR e g(x) = x + 2,

g(x) =

(x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x)

f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite.

Propriedades dos Limites

1ª)

O limite da soma é a soma dos limites.
O limite da diferença é a diferença dos limites.

Exemplo:

2ª)

O limite do produto é o produto dos limites.

Exemplo:

3ª)

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

Exemplo:

4ª)

Exemplo:

5ª)

Exemplo:

6ª)

Exemplo:

7ª)

Exemplo:

8ª)

Exemplo:

Limites Laterais

Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a.

Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos:

Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a.
O limite de f(x) para x

a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas:

Continuidade

Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas:

Propriedade das Funções contínuas

Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então:

f(x)g(x) é contínua em a;
f(x) . g(x) é contínua em a;
é contínua em a .
Limites envolvendo infinito
Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica que x assume valores menores que qualquer número real.
Exemplo:
a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero.
b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero.
c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito.
d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, y tende para menos infinito
Limite de uma função polinomial para
Seja a função polinomial . Então:

Demonstração:

Mas:

Logo:

De forma análoga, para , temos:

Exemplos:
Limites trigonométricos

Demonstração:
Para , temos sen x < x <>x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem:

Invertendo, temos:

Mas:
g(x) <>x) <>x) são funções contínuas e se , então, . Logo,

Limites exponenciais

Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracional e cujo valor aproximado é 2,7182818.
Veja a tabela com valores de x e de

x	1	2	3	10	100	1 000	10 000	100 000
	2	2,25	2,3703	2,5937	2,7048	2,7169	2,7181	2,7182

Notamos que à medida que

.
De forma análoga, efetuando a substituição

, temos:

Ainda de forma mais geral, temos :

As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas.

,então

.
Mas:

Logo:

Como x

0 , então u

0. Portanto:

Generalizando a propriedade acima, temos

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