Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Os Babilônios utilizavam um algoritmo para aproximar uma raiz quadrada de um número qualquer, da seguinte maneira:
Dado um número n, para encontrar a raiz quadrada aproximada, assumimos uma aproximação inicial a0 e calculamos b0. Em seguida, utilizamos o algoritmo:
Onde, para cada iteração (ak , bk), para todo k = 1, 2, 3, ..., encontramos uma raiz n mais aproximada.
O erro da aproximação é dado por E = |(bk)2 - n|. Se o valor absoluto da diferença entre (bk)2 e n for menor do que a precisão ε, então tome como raiz aproximada.
Exemplo: Aproximar √3 pelo algoritmo babilônico com precisão de ε = 1 . 10– 4. Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, vamos tomar como aproximação inicial a0 = 1,5.
Calculamos:
Testamos o erro da aproximação inicial b0. Como E = |22 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:
k = 1
Como E = |1,7142857142 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:
k = 2
Como E = |1,7319587622 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:
k = 3
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Como E = |1,73205080512 - 3| < 10– 4, paramos as iterações e tomamos b3 como uma raiz aproximada √3, com precisão até a décima casa decimal! Vale lembrar que, se continuarmos as iterações k, termos uma aproximação cada vez melhor da raiz.
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