Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Matemática

Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n


Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes. A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:

"Se f (x) = 0 tem apenas uma raiz no intervalo [a, b] e se nem f '(x) nem f "(x) se anulam nesse intervalo, escolhido x0 como aquele dos dois números a e b para o qual f (x) e f" (x) tem mesmo sinal, então:

clip_image002

situa-se mais perto da raiz do que x0.

Seja clip_image002[3] (Conjunto das funções com até a 2ª derivada contínua) no intervalo [a, b], a aproximação da raiz clip_image004[3], f (p) = 0, x é a aproximação de p, tal que clip_image006[5] e clip_image008[3], com clip_image010[3].

A derivada f '(x0) é a reta tangente da função no ponto x0. Se o ponto x0 está localizado nos pontos de inflexão, máximos ou mínimos, a derivada da função tende a zero e é por esse motivo que o Método de Newton não converge se f '(x0) tende a zero.


NOTA: O Método de Newton é excelente para calcular aproximações de raízes reais de funções reais, convergindo rapidamente. Por este motivo será estudado mais profundamente numa próxima oportunidade. No momento, iremos aplicá-lo somente para calcular aproximações de raízes quadradas de números reais.

Exemplo1: Aproximar √3 pelo Método de Newton, com precisão de ε = 1 x 10– 4. O erro E = |(ak)2 - n|.

Como queremos encontrar uma aproximação para √3, fazemos:

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Logo:

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A raiz quadrada de 3 está situada entre 1 e 2. Desta forma, tomaremos como uma aproximação inicial x0 = 1,5.

clip_image002[1]

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Como E = |1,752 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

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Como E = |1,7321428572 – 3| > 10– 4, continuamos as iterações:

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Como E = |1,732050812 – 3| menor que 10– 4 paramos as iterações e tomamos x3 como uma raiz aproximada √3.

Vimos como o algoritmo de Newton aproxima raízes, que melhoram a cada iteração. No entanto, o Método de Newton é muito mais eficaz quando se trata de raízes de funções.


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