Matemática
Por que alguém iria querer encontrar a raiz quadrada de um número sem usar uma calculadora? Certamente, ninguém faria tal coisa, exceto em casos extremos no qual não se tenha a mão uma calculadora.
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- Raíz De 2 - A Prova
Dizem por aí que a raiz quadrada de dois é um dos números responsáveis pela 1ª crise entre os matemáticos gregos, pois o teorema de Pitágoras garantia, na época (e garante até hoje), que esse valor...
- Usando Derivadas Para Aproximar Funções
O simples fato geométrico de que a tangente a uma curva é uma boa aproximação da curva próximo ao ponto de tangência $P$, pode ser usado para obter valores aproximados de funções. [Figura 1] Vamos estimar o valor de uma função $f(x)$ quando...
- Zeros Reais De Funções Reais – O Método De Newton Raphson Resolvido No Excel
Introdução:Sabemos que para alguns tipos de funções existem fórmulas fechadas que levam às raízes em função dos coeficientes, como por exemplo, as equações polinomiais de segundo grau. No entanto, no caso de um polinômio de grau mais alto...
- Método De Herão Para Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Herão de Alexandria foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C.. seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista....
- Método De Newton Para Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes. A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:...
Matemática
Extraindo uma Raiz Quadrada
Por que alguém iria querer encontrar a raiz quadrada de um número sem usar uma calculadora? Certamente, ninguém faria tal coisa, exceto em casos extremos no qual não se tenha a mão uma calculadora. Apresentamos um método simples (trabalhoso sim, mas de simples execução) para encontrar um valor próximo (o mais próximo que se deseja) de uma raiz quadrada, mas não entraremos na parte conceitual, somente nos concentraremos na parte prática do método.
O método foi publicado pela primeira vez em 1690 pelo matemático inglês Joseph Raphson (ou Ralphson) em seu livro, Analysis Alquationum Universalis, atribuindo-o a Newton, e, portanto, o algoritmo leva os dois nomes, o Método de Newton?Raphson.
O método foi publicado pela primeira vez em 1690 pelo matemático inglês Joseph Raphson (ou Ralphson) em seu livro, Analysis Alquationum Universalis, atribuindo-o a Newton, e, portanto, o algoritmo leva os dois nomes, o Método de Newton?Raphson.
A melhor forma de entender é observar na prática, utilizando como exemplo: suponha-se que deseja encontrar ?27.
Obviamente, a calculadora seria o melhor método para ser usado aqui. No entanto, você professor poderia introduzir o assunto aos seus alunos desafiando-os a adivinhar qual valor poderia ser. Certamente a ?27 está entre a ?25 e a ?36, ou entre 5 e 6, um ?bocadinho? mais perto de 5.
Suponha que seja 5,2. Se esta suposição é a correta, então, ao dividir 27 por 5,2, obteríamos 5,2, mas este não é o caso aqui, uma vez que ?27 ? 5,2.
Começa então uma jornada em busca de uma maior aproximação. Para fazer isso, nós encontramos 27 ÷ 5,2 ? 5,192 (comece com três casas decimais, mas nada impede de utilizar mais casas decimais).
Logo 27 ? 5,2 · 5,192, um dos fatores (5,2, neste caso) deve ser maior do que ?27 e o outro elemento (5,192 neste caso) deve ser inferior a ?27, assim, a ?27 está ensanduichada entre os dois números 5,2 e 5,192, isto é, 5,192 < ?27 <5,2 de modo que é plausível inferir que a média 5,196 é uma melhor aproximação para ?27 do que 5,2 ou 5,192.
Este processo continua, cada vez com mais casas decimais, de modo que um subsídio é feito para uma maior aproximação, ou seja, (5,192 + 5,196) ÷ 2 = 5,196, então 27 ÷ 5,194 = 5,19831, logo ?27 ? 5,19831. Na calculadora a ?27 ? 5,196152423...
Este processo contínuo fornece luz sobre a conclusão da raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito.
Outro exemplo suponha-se que deseja encontrar ?73.
Suponha que seja 5,2. Se esta suposição é a correta, então, ao dividir 27 por 5,2, obteríamos 5,2, mas este não é o caso aqui, uma vez que ?27 ? 5,2.
Começa então uma jornada em busca de uma maior aproximação. Para fazer isso, nós encontramos 27 ÷ 5,2 ? 5,192 (comece com três casas decimais, mas nada impede de utilizar mais casas decimais).
Logo 27 ? 5,2 · 5,192, um dos fatores (5,2, neste caso) deve ser maior do que ?27 e o outro elemento (5,192 neste caso) deve ser inferior a ?27, assim, a ?27 está ensanduichada entre os dois números 5,2 e 5,192, isto é, 5,192 < ?27 <5,2 de modo que é plausível inferir que a média 5,196 é uma melhor aproximação para ?27 do que 5,2 ou 5,192.
Este processo continua, cada vez com mais casas decimais, de modo que um subsídio é feito para uma maior aproximação, ou seja, (5,192 + 5,196) ÷ 2 = 5,196, então 27 ÷ 5,194 = 5,19831, logo ?27 ? 5,19831. Na calculadora a ?27 ? 5,196152423...
Este processo contínuo fornece luz sobre a conclusão da raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito.
Outro exemplo suponha-se que deseja encontrar ?73.
Sabemos que a ?73 está entre a ?64 e a ?81, ou seja, entre 8 e 9. Vamos supor que a ?73 é igual a média entre 8 e 9, ou seja, 8,5. Então 73 ÷ 8,5 ? 8,5882, logo 8,5 < ?73 < 8,5882.
Continuando o processo (8,5 + 8,5882) ÷ 2 = 8,5441, logo ?73 ? 8,5441. Na calculadora a ?73 ? 8,544003745...
Atenção nem sempre esta aproximação acontece de forma rápida, depende muito do valor que é suposto inicialmente e quanto mais se repete o processo mais se aproxima do valor da raiz procurada.
Continuando o processo (8,5 + 8,5882) ÷ 2 = 8,5441, logo ?73 ? 8,5441. Na calculadora a ?73 ? 8,544003745...
Atenção nem sempre esta aproximação acontece de forma rápida, depende muito do valor que é suposto inicialmente e quanto mais se repete o processo mais se aproxima do valor da raiz procurada.
Fonte: POSAMENTIER, Alfred S. Math Wonders: to inspire teachers and students. Association for Supervision and Curriculum Development Alexandria: Virginia USA, 2.003.
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Dizem por aí que a raiz quadrada de dois é um dos números responsáveis pela 1ª crise entre os matemáticos gregos, pois o teorema de Pitágoras garantia, na época (e garante até hoje), que esse valor...
- Usando Derivadas Para Aproximar Funções
O simples fato geométrico de que a tangente a uma curva é uma boa aproximação da curva próximo ao ponto de tangência $P$, pode ser usado para obter valores aproximados de funções. [Figura 1] Vamos estimar o valor de uma função $f(x)$ quando...
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Introdução:Sabemos que para alguns tipos de funções existem fórmulas fechadas que levam às raízes em função dos coeficientes, como por exemplo, as equações polinomiais de segundo grau. No entanto, no caso de um polinômio de grau mais alto...
- Método De Herão Para Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Herão de Alexandria foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C.. seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista....
- Método De Newton Para Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes. A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:...