Método de Herão para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Herão de Alexandria foi um matemático de destaque com muita controvérsia sobre a época em que viveu, havendo estimativas que variam de 150 a.C. a 250 d.C.. seus trabalhos de Matemática e Física são numerosos e variados, sendo considerado um enciclopedista. Em seu Livro A Métrica, encontra-se o método de Herão de aproximar a raiz quadrada de um número inteiro não-quadrado perfeito. Tal método é hoje utilizado com freqüência por computadores e permite sucessivas aproximações.
Dada a raiz quadrada de um número n, assumindo a0 como uma aproximação inicial, temos:
Uma melhor aproximação será dada pela próxima iteração:
Assim prossegue e a cada iteração melhora a aproximação da raiz.
A saber: Se n = a ∙ b, então (a + b)/2 é uma aproximação de √n, que melhora com a proximidade de a e b.
Após a escolha da aproximação inicial a0, podemos construir o algoritmo:
Onde, para cada iteração k, para todo k = 1, 2, 3, ..., encontramos uma raiz ak mais aproximada de n.
Surge então a questão: Até quando essas iterações seguem-se? Para evitar que o programa entre numa rotina de cálculos infinitos, inicialmente devemos impor limites, não para as iterações, mas para o erro da aproximação. Ou seja, se quisermos obter uma aproximação de uma raiz com pelo menos 5 casas decimais corretas, com o erro E < 10– 5 , por exemplo, devemos impor uma precisão ε = 1 . 10– 5 e devemos, a cada iteração, fazer o teste da raiz aproximada para checar se satisfaz a precisão ε imposta inicialmente. O erro é dado por E = |(ak)2 - n|. Se o valor absoluto do quadrado da raiz aproximada ak, subtraída de n for menor que a precisão ε, então tome ak como raiz aproximada.
Exemplo: Aproximar √3 pelo método de Herão com precisão de ε = 1 . 10– 4.
Como a raiz quadrada de 3 está entre 1 e 2, tomamos como aproximação inicial a0 = 1,5.
Testamos o erro da aproximação inicial a0. Como |1,52 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:
Fazemos:
k = 1
Como |1,752 - 3| > 10– 4, continuamos as iterações:
k = 2
Como |1,7321428572 - 3| > 10-4, continuamos as iterações:
k = 3
Como |1,7320581001472 - 3| < 10-4, tomamos a3 como raiz aproximada de √3, com precisão até a sétima casa decimal.
Veja mais:
Método Babilônico para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Método de Newton para Aproximação de Raiz Quadrada de um Número n
Mais um Método para Aproximar Raiz Quadrada de um Número n
Zeros Reais de Funções Reais - O Método de Newton-Raphson
- Raiz Quadrada
Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado. Exemplos: a) √49 = 7 porque 7² = 49 b) √100 = 10 porque 10² = 100 NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos primeiros...
- Mais Um Método Para Aproximar A Raiz Quadrada
A fórmula que apresentada logo abaixo é uma aproximação para raízes quadradas, mas se nos deparamos com um problema e não temos uma calculadora na mão, ou o nosso celular ficou sem bateria, podemos usá-la sem medo. Vejamos: Onde, Q é o quadrado...
- Zeros Reais De Funções Reais – O Método De Newton Raphson Resolvido No Excel
Introdução:Sabemos que para alguns tipos de funções existem fórmulas fechadas que levam às raízes em função dos coeficientes, como por exemplo, as equações polinomiais de segundo grau. No entanto, no caso de um polinômio de grau mais alto...
- Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Introdução Os Babilônios deram algumas aproximações interessantes de raízes quadradas de números não-quadrados perfeitos, tais como 17/12 para aproximar , 17/24 para . Talvez eles usassem a fórmula de aproximação: Uma aproximação notável...
- Método De Newton Para Aproximação De Raiz Quadrada De Um Número N
Newton descobriu um método para aproximar os valores das raízes de uma equação numérica, aplicável tanto para equações algébricas como para equações transcendentes. A variante desse método, hoje conhecido como Método de Newton, diz o seguinte:...