Matemática
$1ª$ parte da integral: $u$
Vejamos alguns exemplos:Exemplo1: Calcular a integral $\displaystyle \int xe^x dx$.
Exemplo 2: Calcular a integral $\displaystyle \int x \cos(x)dx$.
- Resolução Da Integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial. Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da...
- Integral Indefinida Do Produto De Cossenos De Monômios De Coeficientes Angulares Diferentes
Neste artigo, veremos como encontrar uma fórmula para calcular a integral do produto de dois cossenos, cujos argumentos são monômios. Vamos demonstrar que: \begin{equation} \int \cos(ax) \cos(bx)dx = \frac{\text{sen}[(a-b)x]}{2(a-b)} + \frac{\text{sen}[(a+b)x]}{2(a+b)}...
- Resolução Da Integral $ \int \text{sen}(3x) \text{sen}(5x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos. Seja a integral: \begin{equation} I = \int \text{sen}(3x)...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
- Integral De $\displaystyle \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx$
Às vezes surgem dúvidas de leitores que valem um post. A resolução desta integral é interessante e usa o método de substituição trigonométrica. Seja a integral: \begin{equation*} \int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx = I \end{equation*} Vejam o artigo...
Matemática
Método de Integração por Partes
O método de integração por partes se aplica particularmente bem aos produtos de diferentes tipos de funções, tais como $x\cos(x)$, que é um produto entre um polinômio por uma função trigonométrica. Ao utilizar este método, a diferencial dada deve ser pensada como um produto $u\cdot dv$. A parte chamada $dv$ deve ser algo que possamos integrar e a parte chamada $u$ deve ser usualmente algo que é simplificado por derivação.
Consideremos a função:
\begin{equation}
f=u \cdot v
\end{equation}
\begin{equation}
f=u \cdot v
\end{equation}
Sua derivada será:
\begin{equation}
f'=u'v+v'u
\end{equation}
\begin{equation}
f'=u'v+v'u
\end{equation}
Também podemos escrevê-la da seguinte forma:
\begin{equation}
d(uv)=vdu+udv
\end{equation}
\begin{equation}
d(uv)=vdu+udv
\end{equation}
Da igualdade $(3)$ temos que:
\begin{equation}
udv=d(uv)-vdu
\end{equation}
\begin{equation}
udv=d(uv)-vdu
\end{equation}
Integrando os dois membros da igualdade $(4)$, temos:
\begin{equation}
\int udv=\int d(uv) -\int vdu
\end{equation}
\begin{equation}
\int udv=\int d(uv) -\int vdu
\end{equation}
E obtemos o seguinte resultado:
\begin{equation}
\int udv=uv-\int vdu
\end{equation}
\int udv=uv-\int vdu
\end{equation}
Quando formos realizar uma integração por partes, fazemos:
$1ª$ parte da integral: $u$
$2ª$ parte da integral (incluindo o $dx$): $dv$
Vejamos alguns exemplos:
Temos que:
\begin{matrix}
u=x\\
\frac{du}{dx}=1\\
du=dx\\
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
dv=e^x dx\\
v=e^x\\
\end{matrix}
Assim, podemos escrever:
\begin{matrix}
\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx\\
\int xe^x dx=xe^x-e^x+C\\
\int xe^x dx=e^x(x-1)+C
\end{matrix}
\begin{matrix}
u=x\\
\frac{du}{dx}=1\\
du=dx\\
\end{matrix}
e
\begin{matrix}
dv=e^x dx\\
v=e^x\\
\end{matrix}
Assim, podemos escrever:
\begin{matrix}
\int xe^x dx=xe^x-\int e^x dx\\
\int xe^x dx=xe^x-e^x+C\\
\int xe^x dx=e^x(x-1)+C
\end{matrix}
Exemplo 2: Calcular a integral $\displaystyle \int x \cos(x)dx$.
Temos que:
\begin{matrix}
u=x\\
\frac{du}{dx}=1\\
du=dx\\
dv=\cos(x)dx\\
v=\text{sen}(x)
\end{matrix}
Assim, podemos escrever:
\begin{matrix}
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)dx\\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\cos(x)\\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)+\cos(x)+C
\end{matrix}
Exemplo 3: Calcule a integral $\displaystyle \int x\ln(x)dx$
\begin{matrix}
u=x\\
\frac{du}{dx}=1\\
du=dx\\
dv=\cos(x)dx\\
v=\text{sen}(x)
\end{matrix}
Assim, podemos escrever:
\begin{matrix}
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)dx\\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)-\cos(x)\\
\int x\cos(x)dx=x\text{sen}(x)+\cos(x)+C
\end{matrix}
Exemplo 3: Calcule a integral $\displaystyle \int x\ln(x)dx$
Temos que:
\begin{matrix}
u=\ln(x)\\
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\\
du=\frac{1}{x}dx\\
dv=xdx\\
v=\frac{x^2}{2}
\end{matrix}
Fazemos:
\begin{matrix}
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{dx}{x}\\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \left(\ln(x)-\frac{1}{2}\right)+C\\
\end{matrix}
\begin{matrix}
u=\ln(x)\\
\frac{du}{dx}=\frac{1}{x}\\
du=\frac{1}{x}dx\\
dv=xdx\\
v=\frac{x^2}{2}
\end{matrix}
Fazemos:
\begin{matrix}
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{dx}{x}\\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2\cdot \ln(x)-\frac{1}{2}\int xdx\\
\int x\ln(x)dx=\frac{1}{2}x^2 \left(\ln(x)-\frac{1}{2}\right)+C\\
\end{matrix}
Exemplo 4: Calcule a integral $\displaystyle \int (3x+7) \cdot \cos(x)dx$.
Temos que:
\begin{matrix}
u=3x+7\\
\frac{du}{dx}=3\\
du=3dx\\
dv=\cos(x)dx\\
v=\text{sen}(x)
\end{matrix}
Então fazemos:
\begin{matrix}
\int (3x+7)\cos(x)dx = (3x+7)\cdot \text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)\\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7)\cdot \text{sen}-3\int \text{sen}(x)dx\\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7) \text{sen}(x)+3\cos(x)+C
\end{matrix}
\begin{matrix}
u=3x+7\\
\frac{du}{dx}=3\\
du=3dx\\
dv=\cos(x)dx\\
v=\text{sen}(x)
\end{matrix}
Então fazemos:
\begin{matrix}
\int (3x+7)\cos(x)dx = (3x+7)\cdot \text{sen}(x)-\int \text{sen}(x)\\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7)\cdot \text{sen}-3\int \text{sen}(x)dx\\
\int (3x+7)\cos(x)dx=(3x+7) \text{sen}(x)+3\cos(x)+C
\end{matrix}
Exemplo 5: Calcule a integral $\displaystyle \int(2x-1)e^x dx$
Temos que:
\begin{matrix}
u=2x-1\\
\frac{du}{dx}=2\\
du=2dx\\
dv=e^xdx\\
v=e^x
\end{matrix}
Então fazemos:
\begin{matrix}
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-\int e^x \cdot 2dx\\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2\int e^x dx\\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2e^x\\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-e^x-2e^x\\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-3e^x\\
\int (2x-1)e^xdx=e^x(3x-3)+C
\end{matrix}
\begin{matrix}
u=2x-1\\
\frac{du}{dx}=2\\
du=2dx\\
dv=e^xdx\\
v=e^x
\end{matrix}
Então fazemos:
\begin{matrix}
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-\int e^x \cdot 2dx\\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2\int e^x dx\\
\int (2x-1)e^xdx=(2x-1)e^x-2e^x\\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-e^x-2e^x\\
\int (2x-1)e^xdx=2xe^x-3e^x\\
\int (2x-1)e^xdx=e^x(3x-3)+C
\end{matrix}
Veja mais:
Método de Integração por Substituição
O Cálculo Integral
Demonstração da Integral de ln(x)
Estratégia ao Integrar por Partes no blog Fatos Matemáticos
Integral Definida e o Limite das Somas no blog Fatos Matemáticos
- Resolução Da Integral $\int \frac{x^2}{(4-x^2)^{3/2}}dx$
Li em um livro, talvez no do Simmons ou do Foulis, que integrar é uma arte. E é verdade. Quanto mais resolvo, mais percebo que não basta apenas o trivial. Esta integral foi enviada por um leitor por e-mail. Só consegui resolvê-la com uma ajuda da...
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Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma produto de senos em uma subtração de cossenos. Seja a integral: \begin{equation} I = \int \text{sen}(3x)...
- Resolução Da Integral $\int \cos(x) \cos(2x)dx$
Para a resolução desta integral, usaremos a técnica de integração por substituição e usaremos uma identidade trigonométrica que transforma um produto de cossenos em soma. Seja a integral: \begin{equation} \int \cos(2x) \cos(x) dx \end{equation}...
- Integral De $\displaystyle \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx$
Às vezes surgem dúvidas de leitores que valem um post. A resolução desta integral é interessante e usa o método de substituição trigonométrica. Seja a integral: \begin{equation*} \int \frac{\sqrt{16-x^2}}{4x^2}dx = I \end{equation*} Vejam o artigo...