Matemática
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- Curiosidade
Se você somar 1 ao produto de quatro números inteiros consecutivos, o resultado sempre será um quadrado perfeito. Em outros termos, o que devemos demonstrar é: Dado um número x inteiro qualquer o resultado da operação R = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)...
- Quadrado Perfeito
A terceira maneira de fatorar expressões algébricas é utilizando a regra do trinômio do quadrado perfeito. Para que possa fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito....
- Raiz Quadrada
Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado. Exemplos: a) √49 = 7 porque 7² = 49 b) √100 = 10 porque 10² = 100 NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos...
- Números Primos
Devemos antes de tudo lembrar o que são números primos. Definimos como números primos aqueles que são divisíveis apenas por 1 e ele mesmo. Um número seja maior do que 1 que não seja primo é chamado de composto. Exemplos: 2 tem apenas os divisores...
- Raiz Quadrada
Chama-se raiz quadrada de um número natural, um segundo número natural cujo o quadrado é igual ao número dado. Exemplos: a) √49 = 7 porque 7² = 49 b) √100 = 10 porque 10² = 100 NÚMEROS QUADRADOS PERFEITOS Vamos calcular os quadrados dos primeiros...
Matemática
Números Perfeitos
Na matemática, podemos dizer que existe um conceito matemático mais perfeito do que qualquer outro?
A maioria dos professores de matemática, constantemente, dizem aos seus alunos que a matemática é perfeita.
Bem, agora vamos apresentar a perfeição em números, a perfeição como é definida pela comunidade matemática.
Segundo a tradição na teoria dos números, no conjunto dos números naturais, temos um conceito denominado de "número perfeito".
Um número é definido perfeito quando um número é igual à soma de seus divisores próprios exceto o próprio número (lembre-se que todo número é divisor que si mesmo).
O menor número perfeito é o 6, uma vez que 6 = 1 + 2 + 3, que é a soma de todos os seus divisores próprios.
Abrindo um parêntese o número 6 é o único numero conhecido que apresenta a característica que a soma e o produto dos seus divisores próprios são iguais: 6 = 1 + 2 + 3 = 3 · 2 · 1 = 3! Outro fato interessante é: 6 = ? (13 + 23+ 33) e que 1/1 = 1/2 + 1/3+ 1/6. Vale lembra que 6 e seu quadrado 36, são números triangulares ... fechando o parêntese.
O próximo número perfeito é o 28, uma vez que novamente 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
E o próximo é 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248, que é a soma de todos os divisores próprios de 496.
Estes quatro primeiros números perfeitos eram conhecidos desde os gregos ... eles são o 6, o 28, o 496 e o 8128.
Euclides determinou um teorema generalizando a forma de encontrar um número perfeito. No seu teorema consta que: se 2k ? 1 é um número primo, então 2k ? 1 · (2k ? 1) é um número perfeito.
Então, sempre que encontrar um valor de k que satisfaz 2k ? 1, então podemos determinar (não com 100% de certeza) um número perfeito.
Não é todo valor de k que satisfaz as condições do teorema de Euclides, uma vez que se k não é um número primo, então 2k ? 1 é um número composto.
Usando o método de Euclides para a geração de números perfeitos, temos:
k = 2 ? 2k ? 1 = 3 ? 2k ? 1 · (2k ? 1) = 6
k = 3 ? 2k ? 1 = 7 ? 2k ? 1 · (2k ? 1) = 28
k = 5 ? 2k ? 1 = 31 ? 2k ? 1 · (2k ? 1) = 496
k = 7 ? 2k ? 1 = 127 ? 2k ? 1 · (2k ? 1) = 8 128
k = 13 ? 2k ? 1 = 8 191 ? 2k ? 1 · (2k ? 1) = 33 550 336
k = 17 ? 2k ? 1 = 131 071 ? 2k ? 1 · (2k ? 1) = 8 589 869 056
k = 19 ? 2k ? 1 = 524 287 ? 2k ? 1 · (2k ? 1) = 137 438 691 328
Para k = 11 ? 2k ? 1 = 2 047 = 23 · 89, ou seja, é um número composto.
Observando podemos notar algumas particularidades dos números perfeitos:
- Um número perfeito costumam terminar com 6 ou 28 e estes valores são precedidos por um dígito ímpar.
- Um número perfeito costuma ser também número triangular, que é um número obtido pela soma de ?n? números naturais consecutivos, partindo de 1, por exemplo, 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + ··· + 28 + 29 + 30 + 31.
Você pode desafiar os seus alunos tentar encontrar as somas parciais para os próximos números perfeitos.
Não sabemos se existem números perfeitos ímpares, nenhum matemático encontrou ou conseguiu provar se existe ou não existe um número perfeito impar.
Atualmente utilizam-se computadores para procurar e encontrar números perfeitos, sim o teorema de Euclides pode ser aplicado mais facilmente.
Fonte: POSAMENTIER, Alfred S. Math Wonders: to inspire teachers and students. Association for Supervision and Curriculum Development Alexandria: Virginia USA, 2.003.
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