O Corpo dos Números Complexos - Parte 1
Matemática

O Corpo dos Números Complexos - Parte 1


Hoje o Giga Matemática abre espaço para mais uma publicação do Leitor.
Quem enviou o artigo de hoje foi o leitor João, direto de Portugal.
 João conta que decidiu escrever esse artigo pois acha a Teoria dos Corpos, Anéis e Grupos em Álgebra Abstrata uma teoria muito interessante do nível do raciocínio e das demonstrações.

Primeiramente devemos nos perguntar, o que é um corpo?

Antes de definirmos corpo, iremos definir uma ideia mais básica, a definição de anel.

Definição 1: Um anel é uma estrutura algébrica $(A,+,*)$ em que $A$ é um conjunto não vazio e $+,*$ são operações binárias em $A$ tais que:
  • $(A,+)$ é um grupo Abeliano;
  • $(A,*)$ é um semigrupo, isto é, $*$ é associativa;
  • A operação $*$ é distributiva em relação a $+$.
Chamamos a operação $+$ de adição ou soma do anel e a operação $*$ chamamos de produto do anel.

Definição 2: Um corpo é uma estrutura algébrica $(A,+,*)$ em que $A$ é um conjunto não vazio e $+,*$ são operações binárias em $A$ tais que:
  • $(A,+,*)$ é um anel comutativo, isto é, $(A,*)$ é um semigrupo Abeliano;
  • $(A,+,*)$ é um anel com identidade (isto é, existe um elemento neutro para $(A,*)$) no qual todo o elemento não nulo tem inverso, ou seja, todo elemento não nulo do anel é unidade.
Já definido o que é um corpo, vamos agora falar um pouco do corpo dos números complexos, começando por provar que de fato ele é um corpo.

Proposição: $(\mathbb{C},+,*)$ é um corpo.
Demonstração: 
Como já sabemos, $\mathbb{C}$ é um anel. Vamos então verificar que o mesmo é um anel comutativo:
Sejam $x,y,a,b \in \mathbb{R}$, tais que, $z=x+iy$ e $w=a+ib$, em que $z,w\in\mathbb{C}$. Então,
$$z*w=(x+iy)*(a+ib)=xa+xbi+yai-by$$
$$=ax+bxi+ayi-yb=(a+ib)*(x+iy)=w*z$$

A última passagem se justifica pois a multiplicação de números reais é comutativa.
Então fica provado que $\mathbb{C}$ é um anel comutativo.
Sabemos que $(\mathbb{C\backslash \{0\}},*)$ é um grupo, então a segunda hipótese fica automaticamente provada.

João termina seu artigo aqui, mas deixa algumas questões que podem ser enviadas para o e-mail dele ([email protected]):

  1. Por que todo corpo é um domínio de integridade, mas o contrário não se verifica?
  2. verifique se $\mathbb{Z}[i]=\{a+bi;a,b\in\mathbb{Z}\}$ é um domínio de integridade. E um corpo?




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$$\{ a_n \} \quad\mbox{e}\quad \{ a_n \}_{n=1}^\infty $$ $$ k \displaystyle \sum_{n=0}^\infty  \left( \begin{array}{c} k \\ n \\ \end{array} \right) x^n = kg(x), \ \ \mid x \mid < 1 $$ $$ a : \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{R} $$  $$n...

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